**Potensregneregler gør det lettere at regne med potenser.** Hvis potenser har samme grundtal, kan du eksempelvis lægge eksponenterne sammen, når du ganger:
**aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ**
Eksempel:
**2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128**
Når du dividerer potenser med samme grundtal, trækker du eksponenterne fra:
**aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ**
I denne guide gennemgår vi de vigtigste potensregneregler én ad gangen med eksempler.
Hvad er en potens?
En potens er en kort måde at skrive gentagen multiplikation med det samme tal.
Eksempel:
**2⁴**
betyder:
**2 × 2 × 2 × 2**
=
**16**
I potensen:
**2⁴**
er:
**2 = grundtal**
**4 = eksponent**
Eksponenten fortæller, hvor mange gange grundtallet indgår som faktor.
Eksempler på potenser
**3² = 3 × 3 = 9**
**5³ = 5 × 5 × 5 = 125**
**10⁴ = 10 × 10 × 10 × 10 = 10.000**
Det er vigtigt at forstå dette, før du begynder på potensregnereglerne.
Potensregneregler – hurtig oversigt
| Regel | Formel | |---|---| | Gange med samme grundtal | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | | Division med samme grundtal | aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | | Potens opløftet i potens | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | | Potens af et produkt | (ab)ⁿ = aⁿbⁿ | | Potens af en brøk | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | | Eksponent 1 | a¹ = a | | Eksponent 0 | a⁰ = 1, når a ≠ 0 | | Negativ eksponent | a⁻ⁿ = 1/aⁿ, når a ≠ 0 |
Lad os gennemgå dem.
Regel 1: Gange potenser med samme grundtal
Hvis grundtallet er det samme, og potenserne ganges, lægger vi eksponenterne sammen.
**aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ**
Eksempel:
**2³ × 2⁴**
=
**2³⁺⁴**
=
**2⁷**
=
**128**
Hvorfor lægger man eksponenterne sammen?
Skriv potenserne helt ud:
**2³ = 2 × 2 × 2**
og:
**2⁴ = 2 × 2 × 2 × 2**
Når vi ganger dem:
**2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2**
har vi syv 2-taller.
Derfor:
**2³ × 2⁴ = 2⁷**
Og:
**3 + 4 = 7**
Et eksempel mere
**5² × 5³**
=
**5²⁺³**
=
**5⁵**
=
**3.125**
Grundtallet skal være det samme
Reglen:
**aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ**
kan bruges, når grundtallet er det samme.
Eksempel:
**3² × 3⁴ = 3⁶**
Men du kan ikke bare gøre:
**2³ × 3⁴ = 6⁷**
Det er forkert.
Grundtallene er forskellige.
Regel 2: Division med samme grundtal
Når potenser med samme grundtal divideres, trækker vi eksponenterne fra.
**aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ**
for:
**a ≠ 0**
Eksempel:
**2⁶ / 2²**
=
**2⁶⁻²**
=
**2⁴**
=
**16**
Hvorfor trækker man eksponenterne fra?
Skriv regnestykket ud:
**2⁶ / 2²**
=
**(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2) / (2 × 2)**
To 2-taller kan forkortes væk.
Tilbage er:
**2 × 2 × 2 × 2**
=
**2⁴**
Derfor:
**2⁶ / 2² = 2⁴**
Et eksempel mere
**7⁵ / 7³**
=
**7⁵⁻³**
=
**7²**
=
**49**
Regel 3: Potens opløftet i en potens
Hvis en potens opløftes i en ny potens, ganger vi eksponenterne.
**(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ**
Eksempel:
**(2³)⁴**
=
**2³×⁴**
=
**2¹²**
=
**4.096**
Hvorfor ganger man eksponenterne?
**(2³)⁴**
betyder:
**2³ × 2³ × 2³ × 2³**
Når potenser med samme grundtal ganges, lægges eksponenterne sammen:
**3 + 3 + 3 + 3 = 12**
Derfor:
**(2³)⁴ = 2¹²**
Pas på denne fejl
Det er forkert at skrive:
**(2³)⁴ = 2⁷**
Her skal eksponenterne ikke lægges sammen.
De skal:
**ganges**
Så:
**3 × 4 = 12**
Regel 4: Potens af et produkt
Hvis et produkt står i en parentes med en eksponent:
**(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ**
Eksempel:
**(2 × 3)²**
kan skrives:
**2² × 3²**
=
**4 × 9**
=
**36**
Det passer også med:
**6² = 36**
Eksempel
**(2 × 5)³**
=
**2³ × 5³**
=
**8 × 125**
=
**1.000**
Og:
**10³ = 1.000**
Regel 5: Potens af en brøk
Hvis en brøk opløftes i en potens:
**(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ**
Eksempel:
**(2/3)²**
=
**2²/3²**
=
**4/9**
Et eksempel mere
**(3/5)³**
=
**3³/5³**
=
**27/125**
Reglen gælder, når nævneren ikke er 0.
Regel 6: Eksponenten 1
Ethvert tal opløftet i første potens er tallet selv:
**a¹ = a**
Eksempel:
**7¹ = 7**
**100¹ = 100**
Det skyldes, at grundtallet kun optræder én gang som faktor.
Regel 7: Eksponenten 0
For ethvert grundtal forskelligt fra 0 gælder:
**a⁰ = 1**
Eksempel:
**5⁰ = 1**
**100⁰ = 1**
**(-3)⁰ = 1**
Hvorfor er a⁰ = 1?
Se på dette regnestykke:
**a³ / a³**
Et tal forskelligt fra 0 divideret med sig selv er:
**1**
Men potensreglen siger også:
**a³ / a³ = a³⁻³ = a⁰**
Derfor:
**a⁰ = 1**
for:
**a ≠ 0**
Hvad med 0⁰?
Udtrykket **0⁰** kræver særlig behandling og defineres forskelligt afhængigt af den matematiske sammenhæng.
I almindelige skoleopgaver er det sikrest ikke at bruge reglen:
**a⁰ = 1**
på **a = 0**, medmindre opgaven specifikt forklarer, hvordan 0⁰ skal behandles.
Regel 8: Negativ eksponent
En negativ eksponent betyder, at vi tager den tilsvarende positive potens i nævneren:
**a⁻ⁿ = 1/aⁿ**
for:
**a ≠ 0**
Eksempel:
**2⁻³**
=
**1/2³**
=
**1/8**
Eksempel med 10
**10⁻²**
=
**1/10²**
=
**1/100**
=
**0,01**
Negative eksponenter bliver især nyttige senere i matematikken og i naturvidenskab.
Negative tal og potenser
Her skal du være meget opmærksom på parenteser.
Se forskellen:
**(-2)² = 4**
fordi:
**(-2) × (-2) = 4**
Men:
**-2² = -4**
fordi potensen beregnes før minusset:
**-(2²) = -4**
Parentesen ændrer altså betydningen.
Et negativt tal i tredje potens
**(-2)³**
=
**(-2) × (-2) × (-2)**
=
**-8**
Når et negativt tal opløftes i:
**en lige eksponent**
bliver resultatet positivt.
Når det opløftes i:
**en ulige eksponent**
bliver resultatet negativt.
Det gælder, når det negative tal er selve grundtallet, altså står samlet i parentes.
Plus af potenser
En meget almindelig fejl er at bruge potensregneregler ved addition.
Eksempel:
**2³ + 2²**
Du må ikke skrive:
**2⁵**
I stedet beregner du potenserne:
**8 + 4 = 12**
Reglen med at lægge eksponenter sammen gælder ved:
**multiplikation**
ikke addition.
Minus af potenser
Det samme gælder ved subtraktion.
**3³ − 3²**
er ikke:
**3¹**
I stedet:
**27 − 9 = 18**
Reglen:
**aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ**
gælder ved division – ikke minus.
Potenser med samme eksponent
Hvis eksponenten er den samme, kan vi bruge:
**aⁿ × bⁿ = (ab)ⁿ**
Eksempel:
**2³ × 5³**
=
**(2 × 5)³**
=
**10³**
=
**1.000**
Det kan være en smart genvej.
Division med samme eksponent
På samme måde:
**aⁿ / bⁿ = (a/b)ⁿ**
for **b ≠ 0**.
Eksempel:
**6² / 3²**
=
**(6/3)²**
=
**2²**
=
**4**
Kvadrattal og potenser
Et kvadrattal er et tal, der kan skrives som et helt tal i anden potens.
Eksempler:
**1² = 1**
**2² = 4**
**3² = 9**
**4² = 16**
**5² = 25**
Derfor er:
**1, 4, 9, 16 og 25**
kvadrattal.
Læs mere om [kvadrattal](/blog/kvadrattal).
Kvadratrod og potenser
Kvadratroden arbejder modsat det at sætte et ikke-negativt tal i anden.
Eksempel:
**5² = 25**
Derfor:
**√25 = 5**
Og:
**12² = 144**
Derfor:
**√144 = 12**
Læs mere om [kvadratrod](/blog/kvadratrod).
Potenser med 10
Potenser med grundtallet 10 er særligt nyttige.
**10¹ = 10**
**10² = 100**
**10³ = 1.000**
**10⁴ = 10.000**
**10⁵ = 100.000**
Eksponenten fortæller her, hvor mange nuller der står efter 1.
For negative eksponenter:
**10⁻¹ = 0,1**
**10⁻² = 0,01**
**10⁻³ = 0,001**
Regnearternes rækkefølge med potenser
Potenser beregnes før gange, division, plus og minus.
Eksempel:
**3 + 2² × 5**
Først potensen:
**2² = 4**
Så multiplikationen:
**4 × 5 = 20**
Til sidst:
**3 + 20 = 23**
Læs mere om [regnearternes rækkefølge](/blog/regnearternes-raekkefoelge).
Eksempel med parentes
Beregn:
**(2 + 3)²**
Først parentesen:
**2 + 3 = 5**
Derefter:
**5² = 25**
Det er ikke det samme som:
**2 + 3²**
som giver:
**2 + 9 = 11**
Potenser med bogstaver
De samme potensregneregler gælder for bogstaver.
Eksempel:
**x³ × x⁴**
=
**x⁷**
Og:
**x⁸ / x³**
=
**x⁵**
for:
**x ≠ 0**
Eksempel med flere faktorer
Forenkl:
**2x³ × 4x²**
Først tallene:
**2 × 4 = 8**
Derefter potenserne:
**x³ × x² = x⁵**
Så:
**2x³ × 4x² = 8x⁵**
Division med bogstaver
Forenkl:
**12x⁵ / 3x²**
Først:
**12 / 3 = 4**
Derefter:
**x⁵ / x² = x³**
Så:
**12x⁵ / 3x² = 4x³**
for **x ≠ 0**.
Typisk fejl: at gange eksponenterne
Ved:
**2³ × 2⁴**
skal eksponenterne lægges sammen:
**3 + 4 = 7**
Ikke ganges.
Så:
**2³ × 2⁴ = 2⁷**
Typisk fejl: at lægge eksponenterne sammen i en potens af en potens
Ved:
**(2³)⁴**
skal eksponenterne:
**ganges**
Så:
**3 × 4 = 12**
og:
**(2³)⁴ = 2¹²**
Typisk fejl: at bruge reglen ved plus
**x² + x³**
kan ikke forenkles til:
**x⁵**
Reglen gælder kun, når potenserne:
**ganges**
Typisk fejl: at glemme parentesen ved negative tal
Der er forskel på:
**(-3)² = 9**
og:
**-3² = -9**
Parentesen fortæller, om minusset er en del af grundtallet.
Huskeregler
Når du ganger samme grundtal
**Læg eksponenterne sammen**
**aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ**
Når du dividerer samme grundtal
**Træk eksponenterne fra**
**aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ**
Potens af en potens
**Gang eksponenterne**
**(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ**
Produkt i parentes
**Fordel eksponenten**
**(ab)ⁿ = aⁿbⁿ**
20 opgaver med potensregneregler
Opgave 1
Beregn:
**2³**
Opgave 2
Beregn:
**5²**
Opgave 3
Forenkl:
**2³ × 2²**
Opgave 4
Forenkl:
**3⁴ × 3³**
Opgave 5
Forenkl:
**5⁶ / 5²**
Opgave 6
Forenkl:
**2⁸ / 2⁵**
Opgave 7
Forenkl:
**(2³)²**
Opgave 8
Forenkl:
**(3²)³**
Opgave 9
Beregn:
**7⁰**
Opgave 10
Beregn:
**10⁰**
Opgave 11
Skriv som brøk:
**2⁻³**
Opgave 12
Beregn:
**10⁻²**
Opgave 13
Beregn:
**(-2)²**
Opgave 14
Beregn:
**(-2)³**
Opgave 15
Beregn:
**2³ + 2²**
Opgave 16
Forenkl:
**x³ × x⁵**
Opgave 17
Forenkl:
**x⁷ / x²**
Opgave 18
Forenkl:
**(x²)⁴**
Opgave 19
Forenkl:
**3x² × 2x³**
Opgave 20
Beregn:
**3 + 2² × 4**
Svar
1. **8** 2. **25** 3. **2⁵ = 32** 4. **3⁷ = 2.187** 5. **5⁴ = 625** 6. **2³ = 8** 7. **2⁶ = 64** 8. **3⁶ = 729** 9. **1** 10. **1** 11. **1/8** 12. **0,01** 13. **4** 14. **-8** 15. **12** 16. **x⁸** 17. **x⁵** 18. **x⁸** 19. **6x⁵** 20. **19**
Lær potensregneregler trin for trin
Det kan være svært at huske potensregnereglerne, hvis de kun bliver præsenteret som formler.
Derfor hjælper det først at skrive potenserne ud.
Eksempel:
**x² × x³**
bliver:
**(x × x) × (x × x × x)**
Nu kan du tælle:
**5 x'er**
Derfor:
**x⁵**
Når sammenhængen giver mening, bliver reglen:
**xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ**
langt lettere at huske.
Potenser gennem spil
Forestil dig en bane med energikrystaller.
En maskine har energien:
**2³**
En anden opgradering ganger energien med:
**2²**
Barnet skal finde den samlede effekt:
**2³ × 2²**
I stedet for at beregne hver potens separat kan barnet bruge reglen:
**2³ × 2² = 2⁵**
=
**32**
Senere kan udfordringerne introducere division, potenser af potenser og negative eksponenter.
På den måde kan reglerne bygges op gradvist.
Matematik i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver brugt som en del af spillets udfordringer.
Barnet kan træne matematiske færdigheder gennem baner og problemer, hvor matematikken hjælper med at komme videre.
Som forælder kan du følge udviklingen og se, hvilke færdigheder barnet mestrer.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**