**En lineær funktion er en funktion, der kan skrives på formen:**
**f(x) = ax + b**
Her fortæller **a**, hvor meget grafen stiger eller falder, når x vokser med 1, mens **b** fortæller, hvor grafen skærer y-aksen.
Eksempel:
**f(x) = 2x + 3**
Her er:
**a = 2**
**b = 3**
Grafen skærer derfor y-aksen ved 3, og hver gang x stiger med 1, stiger y med 2.
I denne guide lærer du at forstå lineære funktioner, tegne deres grafer og finde både a og b.
Hvad er en lineær funktion?
En lineær funktion beskriver en sammenhæng, hvor ændringen er konstant.
Den skrives typisk:
**f(x) = ax + b**
eller:
**y = ax + b**
De to skrivemåder beskriver den samme type sammenhæng.
Grafen for en lineær funktion er altid:
**en ret linje**
Eksempel:
**f(x) = 3x + 2**
Hvis x stiger med 1, stiger funktionsværdien med 3 hver gang.
Hvad betyder f(x)?
Udtrykket:
**f(x)**
kan læses som:
**funktionen af x**
Det fortæller, hvilken værdi funktionen giver, når vi vælger en bestemt værdi af x.
Hvis:
**f(x) = 2x + 4**
og:
**x = 3**
så:
**f(3) = 2 × 3 + 4**
**f(3) = 10**
Funktionsværdien er altså:
**10**
Hvad betyder a?
I:
**f(x) = ax + b**
kaldes **a** for hældningskoefficienten.
Den fortæller, hvor meget y ændrer sig, når x stiger med 1.
Eksempel:
**f(x) = 4x + 2**
Her er:
**a = 4**
Når x stiger med 1, stiger y derfor med:
**4**
Positiv hældningskoefficient
Hvis:
**a > 0**
stiger grafen fra venstre mod højre.
Eksempel:
**f(x) = 2x + 1**
Her er:
**a = 2**
Grafen er derfor stigende.
Negativ hældningskoefficient
Hvis:
**a < 0**
falder grafen fra venstre mod højre.
Eksempel:
**f(x) = -3x + 5**
Her er:
**a = -3**
Når x stiger med 1, falder y med 3.
Grafen er derfor:
**faldende**
Når a = 0
Hvis:
**a = 0**
bliver funktionen:
**f(x) = b**
Eksempel:
**f(x) = 5**
Uanset hvilken x-værdi vi vælger, er y altid:
**5**
Grafen bliver derfor en vandret linje.
Hvad betyder b?
I:
**f(x) = ax + b**
fortæller **b**, hvor grafen skærer y-aksen.
Hvorfor?
På y-aksen er:
**x = 0**
Hvis:
**f(x) = 2x + 3**
sætter vi x = 0:
**f(0) = 2 × 0 + 3**
**f(0) = 3**
Grafen skærer derfor y-aksen i:
**(0,3)**
Eksempel: f(x) = 2x + 3
Lad os beregne nogle punkter.
| x | f(x) = 2x + 3 | |---:|---:| | -2 | -1 | | -1 | 1 | | 0 | 3 | | 1 | 5 | | 2 | 7 | | 3 | 9 |
Punkterne bliver:
**(-2,-1)**
**(-1,1)**
**(0,3)**
**(1,5)**
**(2,7)**
**(3,9)**
Hvis punkterne sættes ind i et koordinatsystem, ligger de på den samme rette linje.
Sådan tegner du en lineær funktion
Forestil dig:
**f(x) = 2x + 1**
Trin 1: Find b
Her er:
**b = 1**
Grafen skærer derfor y-aksen i:
**(0,1)**
Trin 2: Find a
Her er:
**a = 2**
Det betyder:
Når du går **1 til højre**, går du **2 op**.
Fra:
**(0,1)**
kommer du derfor til:
**(1,3)**
og derefter:
**(2,5)**
Trin 3: Tegn linjen
Tegn en ret linje gennem punkterne.
Du har nu grafen for:
**f(x) = 2x + 1**
Find funktionsværdien
Hvis:
**f(x) = 3x - 2**
og du skal finde:
**f(4)**
sætter du 4 ind i stedet for x:
**f(4) = 3 × 4 - 2**
**f(4) = 12 - 2**
**f(4) = 10**
Find x ud fra funktionsværdien
Forestil dig:
**f(x) = 2x + 4**
og du ved:
**f(x) = 14**
Så:
**2x + 4 = 14**
Træk 4 fra:
**2x = 10**
Divider med 2:
**x = 5**
Hvad er hældningskoefficienten?
Hældningskoefficienten fortæller, hvor hurtigt en lineær funktion ændrer sig.
Hvis du kender to punkter:
**(x₁,y₁)**
og:
**(x₂,y₂)**
kan hældningen beregnes med:
**a = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)**
så længe:
**x₂ ≠ x₁**
Eksempel: find a ud fra to punkter
Vi har punkterne:
**(1,3)**
og:
**(4,9)**
Så:
**a = (9 - 3) / (4 - 1)**
**a = 6 / 3**
**a = 2**
Hældningskoefficienten er:
**2**
Find b, når du kender a
Vi ved nu:
**a = 2**
og et punkt er:
**(1,3)**
Brug:
**y = ax + b**
Indsæt:
**3 = 2 × 1 + b**
Så:
**3 = 2 + b**
Derfor:
**b = 1**
Funktionsforskriften er:
**f(x) = 2x + 1**
Find forskriften ud fra to punkter
Lad os tage punkterne:
**(2,5)**
og:
**(6,13)**
Først finder vi a:
**a = (13 - 5) / (6 - 2)**
**a = 8 / 4**
**a = 2**
Derefter bruger vi punktet:
**(2,5)**
i:
**y = ax + b**
Så:
**5 = 2 × 2 + b**
**5 = 4 + b**
Derfor:
**b = 1**
Forskriften er:
**f(x) = 2x + 1**
Lineær funktion gennem origo
Hvis:
**b = 0**
får vi:
**f(x) = ax**
Grafen går da gennem:
**origo (0,0)**
Eksempel:
**f(x) = 3x**
giver:
**f(0) = 0**
**f(1) = 3**
**f(2) = 6**
**f(3) = 9**
Denne type lineær sammenhæng kaldes ofte proportional.
Lineær funktion i hverdagen
Lineære funktioner kan bruges til at beskrive mange situationer med en konstant ændring.
Forestil dig en taxatur med:
**startpris = 40 kr.**
og:
**10 kr. pr. kilometer**
Hvis x er antal kilometer, kan prisen beskrives som:
**f(x) = 10x + 40**
Her er:
**a = 10**
fordi hver ekstra kilometer koster 10 kr.
Og:
**b = 40**
fordi turen starter på 40 kr.
Eksempel med opsparing
Du har allerede:
**100 kr.**
og sparer:
**50 kr. om ugen**
Efter x uger har du:
**f(x) = 50x + 100**
Efter 4 uger:
**f(4) = 50 × 4 + 100**
**f(4) = 300**
Du har altså:
**300 kr.**
Eksempel med temperatur
En temperatur er 20 °C og falder med 2 °C hver time.
Det kan beskrives som:
**f(x) = -2x + 20**
Efter 3 timer:
**f(3) = -2 × 3 + 20**
**f(3) = 14**
Temperaturen er:
**14 °C**
Lineær funktion og koordinatsystem
Lineære funktioner tegnes i et koordinatsystem.
Den vandrette akse er:
**x-aksen**
Den lodrette akse er:
**y-aksen**
Et punkt skrives:
**(x,y)**
Hvis:
**f(2) = 7**
ligger punktet:
**(2,7)**
på grafen.
Læs mere om [koordinatsystemet](/blog/koordinatsystem).
Lineær funktion og funktionsforskrift
En funktionsforskrift er reglen, der fortæller, hvordan en funktion beregnes.
Eksempel:
**f(x) = 4x - 3**
er en funktionsforskrift.
Fordi den har formen:
**ax + b**
er det samtidig en lineær funktion.
Læs mere om [funktionsforskrift](/blog/funktionsforskrift).
Lineær funktion eller ikke lineær?
En funktion er lineær, hvis den kan skrives:
**f(x) = ax + b**
Eksempler på lineære funktioner:
**f(x) = 2x + 4**
**f(x) = -x + 7**
**f(x) = 5x**
**f(x) = 3**
Men:
**f(x) = x²**
er ikke lineær.
Grafen for x² er ikke en ret linje.
Nulpunkter i en lineær funktion
Et nulpunkt er det sted, hvor:
**f(x) = 0**
For:
**f(x) = 2x - 6**
sætter vi:
**2x - 6 = 0**
Så:
**2x = 6**
og:
**x = 3**
Nulpunktet ligger derfor ved:
**x = 3**
På grafen svarer det til punktet:
**(3,0)**
Formel for nulpunktet
For:
**f(x) = ax + b**
kan nulpunktet findes ved:
**0 = ax + b**
Så:
**ax = -b**
og:
**x = -b/a**
når:
**a ≠ 0**
Parallelle lineære funktioner
To forskellige lineære grafer er parallelle, hvis de har samme hældningskoefficient.
Eksempel:
**f(x) = 2x + 1**
og:
**g(x) = 2x - 5**
Begge har:
**a = 2**
Derfor har de samme hældning.
Men deres b-værdier er forskellige, så de skærer y-aksen forskellige steder.
Skæringspunkt mellem to lineære funktioner
Forestil dig:
**f(x) = 2x + 1**
og:
**g(x) = x + 4**
I skæringspunktet har funktionerne samme y-værdi.
Derfor:
**2x + 1 = x + 4**
Træk x fra:
**x + 1 = 4**
Så:
**x = 3**
Indsæt:
**f(3) = 2 × 3 + 1 = 7**
Skæringspunktet er:
**(3,7)**
Typisk fejl: at bytte om på a og b
I:
**f(x) = 3x + 7**
er:
**a = 3**
og:
**b = 7**
Det er altså 3, der bestemmer hældningen.
7 fortæller, hvor grafen skærer y-aksen.
Typisk fejl: negativt a
Hvis:
**f(x) = -2x + 5**
er:
**a = -2**
Grafen stiger ikke.
Den:
**falder**
med 2, hver gang x vokser med 1.
Typisk fejl: at aflæse b på x-aksen
b fortæller skæringen med:
**y-aksen**
ikke x-aksen.
Skæringen med x-aksen findes ved at sætte:
**f(x) = 0**
Hurtig oversigt
| Begreb | Betydning | |---|---| | Lineær funktion | f(x) = ax + b | | a | Hældningskoefficient | | b | Skæring med y-aksen | | a > 0 | Grafen stiger | | a < 0 | Grafen falder | | a = 0 | Grafen er vandret | | b = 0 | Grafen går gennem origo | | Nulpunkt | f(x) = 0 | | Graf | En ret linje |
20 opgaver om lineære funktioner
Opgave 1
I funktionen **f(x) = 3x + 5**, hvad er a?
Opgave 2
I samme funktion, hvad er b?
Opgave 3
Beregn **f(2)** for **f(x) = 3x + 5**.
Opgave 4
Beregn **f(4)** for **f(x) = 2x - 3**.
Opgave 5
Er **f(x) = 5x + 2** stigende eller faldende?
Opgave 6
Er **f(x) = -4x + 7** stigende eller faldende?
Opgave 7
Hvor skærer **f(x) = 2x + 6** y-aksen?
Opgave 8
Hvor skærer **f(x) = -3x - 4** y-aksen?
Opgave 9
Find nulpunktet for **f(x) = x - 5**.
Opgave 10
Find nulpunktet for **f(x) = 2x - 8**.
Opgave 11
Find hældningen mellem punkterne **(1,2)** og **(3,6)**.
Opgave 12
Find hældningen mellem **(2,8)** og **(4,4)**.
Opgave 13
Er **f(x) = x² + 2** lineær?
Opgave 14
Er **f(x) = 7x** lineær?
Opgave 15
Hvad er b i **f(x) = 7x**?
Opgave 16
En pris starter på 50 kr. og stiger med 20 kr. pr. enhed. Skriv en lineær funktion.
Opgave 17
Brug funktionen fra opgave 16 til at finde prisen for 4 enheder.
Opgave 18
Hvilke af funktionerne er parallelle: **f(x) = 3x + 1**, **g(x) = 3x - 8**, **h(x) = 2x + 1**?
Opgave 19
Find skæringspunktet mellem **f(x) = x + 2** og **g(x) = 2x**.
Opgave 20
Hvad er den generelle form for en lineær funktion?
Svar
1. **3** 2. **5** 3. **11** 4. **5** 5. **Stigende** 6. **Faldende** 7. **(0,6)** 8. **(0,-4)** 9. **x = 5** 10. **x = 4** 11. **2** 12. **-2** 13. **Nej** 14. **Ja** 15. **0** 16. **f(x) = 20x + 50** 17. **130 kr.** 18. **f og g** 19. **(2,4)** 20. **f(x) = ax + b**
Lær lineære funktioner visuelt
Lineære funktioner bliver ofte lettere at forstå, når man kan se, hvad tallene gør.
Forestil dig en figur i et spil, der starter med:
**100 energi**
og får:
**20 energi pr. krystal**
Den samlede energi kan beskrives med:
**f(x) = 20x + 100**
Barnet kan nu se:
**b = startværdien**
mens:
**a = ændringen for hver krystal**
Når matematikken forbindes med en konkret mekanik, bliver bogstaverne mindre abstrakte.
Matematik i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bruges som en del af spillets udfordringer.
Barnet kan arbejde med blandt andet tal, regning, geometri og matematiske sammenhænge, mens du som forælder kan følge udviklingen.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**