**Sandsynlighedsregning handler om at beregne, hvor stor chancen er for, at noget bestemt sker.** Hvis du kaster en almindelig terning, er sandsynligheden for at slå en sekser 1 ud af 6.
Det kan skrives:
**P(6) = 1/6 ≈ 16,7 %**
Her lærer du at beregne sandsynlighed med terninger, mønter, spillekort og andre nemme eksempler.
Hvad er sandsynlighed?
Sandsynlighed fortæller, hvor stor chancen er for, at en bestemt begivenhed sker.
Forestil dig, at du kaster en almindelig terning.
Terningen har seks sider:
**1, 2, 3, 4, 5 og 6**
Hvis terningen er fair, har hvert tal samme chance for at blive slået.
Der er derfor:
**1 ud af 6**
chance for at slå en sekser.
Det er sandsynlighedsregning.
Formel for sandsynlighed
Når alle udfald er lige sandsynlige, kan du bruge denne formel:
**Sandsynlighed = antal gunstige udfald / antal mulige udfald**
Et gunstigt udfald er et resultat, du gerne vil undersøge.
Eksempel:
Du vil slå en sekser med en terning.
Der er:
**1 gunstigt udfald**
og:
**6 mulige udfald**
Derfor:
**Sandsynlighed = 1/6**
Bemærk, at formlen kun kan bruges direkte på denne måde, når de mulige udfald er lige sandsynlige.
Hvad betyder P?
I sandsynlighedsregning bruger man ofte bogstavet:
**P**
Det står for sandsynlighed.
Eksempel:
**P(6) = 1/6**
Det læses:
*Sandsynligheden for at slå en sekser er en sjettedel.*
Hvis vi undersøger sandsynligheden for at slå et lige tal, kan vi skrive:
**P(lige tal) = 3/6 = 1/2**
Sandsynlighed som brøk, decimaltal og procent
Sandsynlighed kan udtrykkes på tre måder.
| Brøk | Decimaltal | Procent | |---|---:|---:| | 0 | 0 | 0 % | | 1/4 | 0,25 | 25 % | | 1/2 | 0,5 | 50 % | | 3/4 | 0,75 | 75 % | | 1 | 1 | 100 % |
Eksempel:
**1/4 = 0,25 = 25 %**
Alle tre udtryk betyder det samme.
Læs mere om [brøker](/blog/broeker-for-boern) og [procentregning](/blog/procentregning).
Sandsynlighed fra 0 til 100 %
En sandsynlighed ligger altid mellem:
**0 % og 100 %**
0 % – umuligt
Hvis du kaster en almindelig sekssidet terning, er sandsynligheden for at slå 9:
**0 %**
Det kan ikke ske.
50 % – lige stor chance
Hvis du kaster en fair mønt, er sandsynligheden for plat:
**50 %**
100 % – sikkert
Hvis du kaster en almindelig terning, er sandsynligheden for at slå et tal fra 1 til 6:
**100 %**
Et af tallene skal komme.
Sandsynlighed med en terning
En almindelig terning er et godt sted at begynde.
De mulige udfald er:
**1, 2, 3, 4, 5, 6**
Der er altså seks mulige udfald.
Sandsynligheden for at slå 3
Der er ét gunstigt udfald.
Derfor:
**P(3) = 1/6 ≈ 16,7 %**
Sandsynligheden for at slå et lige tal
De lige tal er:
**2, 4 og 6**
Der er tre gunstige udfald.
Derfor:
**P(lige tal) = 3/6 = 1/2 = 50 %**
Sandsynligheden for at slå over 4
Tallene over 4 er:
**5 og 6**
Der er to gunstige udfald.
Derfor:
**P(over 4) = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3 %**
Sandsynligheden for at slå under 5
Tallene under 5 er:
**1, 2, 3 og 4**
Der er fire gunstige udfald.
Derfor:
**P(under 5) = 4/6 = 2/3 ≈ 66,7 %**
Sandsynlighed med en mønt
En almindelig fair mønt har to mulige udfald:
**plat og krone**
Sandsynligheden for plat er:
**1/2 = 50 %**
Sandsynligheden for krone er også:
**1/2 = 50 %**
Det betyder dog ikke, at du nødvendigvis får præcis fem plat, hvis du kaster mønten ti gange.
Du kan eksempelvis få:
**7 plat og 3 krone**
Hvert enkelt kast er stadig lige sandsynligt.
Sandsynlighed med farvede kugler
Forestil dig en pose med:
- 3 røde kugler - 2 blå kugler - 5 grønne kugler
Der er i alt:
**3 + 2 + 5 = 10 kugler**
Du trækker én tilfældig kugle uden at kigge.
Sandsynligheden for rød
Der er tre røde kugler.
**P(rød) = 3/10 = 30 %**
Sandsynligheden for blå
Der er to blå kugler.
**P(blå) = 2/10 = 20 %**
Sandsynligheden for grøn
Der er fem grønne kugler.
**P(grøn) = 5/10 = 50 %**
Hvis alle kugler har samme chance for at blive trukket, er grøn altså det mest sandsynlige udfald.
Sandsynlighed med spillekort
Et almindeligt sæt spillekort har:
**52 kort**
Der er fire kulører med 13 kort i hver.
Sandsynligheden for at trække et hjerter
Der er:
**13 hjerter**
ud af:
**52 kort**
Derfor:
**P(hjerter) = 13/52 = 1/4 = 25 %**
Sandsynligheden for at trække et es
Der er fire esser.
Derfor:
**P(es) = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7 %**
To terninger
Når du kaster to almindelige terninger, er der flere mulige kombinationer.
Hver terning har seks mulige udfald.
Derfor er antallet af ordnede udfald:
**6 × 6 = 36**
Eksempler:
**(1,1)**
**(1,2)**
**(1,3)**
og så videre.
Sandsynligheden for at få summen 7
Du kan få summen 7 på seks måder:
**1 + 6**
**2 + 5**
**3 + 4**
**4 + 3**
**5 + 2**
**6 + 1**
Der er derfor seks gunstige udfald ud af 36.
**P(sum 7) = 6/36 = 1/6 ≈ 16,7 %**
Sandsynligheden for at få summen 12
Du kan kun få 12 på én måde:
**6 + 6**
Derfor:
**P(sum 12) = 1/36 ≈ 2,8 %**
Summen 7 er altså mere sandsynlig end summen 12.
Uafhængige hændelser
To hændelser kaldes uafhængige, når resultatet af den ene ikke ændrer sandsynligheden for den anden.
Eksempel:
Du kaster en fair mønt to gange.
Resultatet af det første kast ændrer ikke chancen for plat i det andet kast.
Sandsynligheden for plat i hvert kast er stadig:
**1/2**
To plat i træk
Sandsynligheden er:
**1/2 × 1/2 = 1/4**
Altså:
**25 %**
Tre plat i træk
Sandsynligheden er:
**1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8**
Altså:
**12,5 %**
Hændelser, der ikke er uafhængige
Forestil dig en pose med:
**3 røde kugler og 2 blå kugler**
Du trækker en rød kugle og lægger den ikke tilbage.
Nu er der:
**2 røde kugler og 2 blå kugler**
tilbage.
Sandsynligheden for at trække en rød kugle næste gang er nu:
**2/4 = 50 %**
Den var oprindeligt:
**3/5 = 60 %**
Sandsynligheden har altså ændret sig.
Det er vigtigt at vide, om man lægger noget tilbage efter et træk.
Tælletræ og sandsynlighed
Et tælletræ hjælper med at holde styr på mulige udfald.
Hvis du kaster en mønt to gange, kan udfaldene være:
**plat – plat**
**plat – krone**
**krone – plat**
**krone – krone**
Der er fire ordnede udfald.
Kun ét af dem giver to plat.
Derfor:
**P(to plat) = 1/4**
Læs vores guide til [tælletræ](/blog/taelletrae).
Teoretisk og eksperimentel sandsynlighed
Der er forskel på den sandsynlighed, vi beregner, og de resultater, vi faktisk observerer.
Teoretisk sandsynlighed
For en fair mønt er sandsynligheden for plat:
**50 %**
Eksperimentel sandsynlighed
Du kaster mønten 20 gange og får plat 12 gange.
Den observerede andel er:
**12/20 = 60 %**
Det betyder ikke, at møntens teoretiske sandsynlighed har ændret sig.
Det betyder blot, at resultatet af de 20 kast blev sådan.
Når vi udfører mange forsøg, vil den observerede andel typisk nærme sig den teoretiske sandsynlighed, hvis vores antagelser om forsøget holder.
Er sandsynlighed en garanti?
Nej.
Hvis sandsynligheden for noget er 25 %, betyder det ikke, at det helt sikkert sker én gang for hver fire forsøg.
Det betyder, at chancen ved det enkelte forsøg er:
**1 ud af 4**
Et tilfældigt udfald kan ikke forudsiges med sikkerhed, bare fordi vi kender sandsynligheden.
Typiske fejl i sandsynlighedsregning
Fejl 1: At tælle de mulige udfald forkert
Hvis du vil slå et tal større end 3 på en terning, er de gunstige udfald:
**4, 5 og 6**
Altså tre udfald – ikke to.
Fejl 2: At forveksle chance med garanti
En sandsynlighed på 50 % betyder ikke, at resultatet nødvendigvis sker hver anden gang.
Fejl 3: At glemme, om noget lægges tilbage
Hvis en kugle ikke lægges tilbage, ændrer posens indhold sig.
Det kan ændre sandsynligheden for næste træk.
Fejl 4: At antage, at alle udfald er lige sandsynlige
Ved to terninger er summen 7 mere sandsynlig end summen 12.
Selvom begge summer er mulige, har de ikke samme sandsynlighed.
15 opgaver i sandsynlighedsregning
Brug en almindelig fair terning eller mønt, når opgaven nævner det.
1. Hvad er sandsynligheden for at slå 1 med en terning? 2. Hvad er sandsynligheden for at slå et ulige tal? 3. Hvad er sandsynligheden for at slå over 2? 4. Hvad er sandsynligheden for at slå 8? 5. Hvad er sandsynligheden for at slå et tal under 7? 6. Hvad er sandsynligheden for plat med en fair mønt? 7. Hvad er sandsynligheden for to plat i træk? 8. En pose indeholder 2 røde og 3 blå kugler. Hvad er sandsynligheden for rød? 9. Hvad er sandsynligheden for blå i samme pose? 10. En pose indeholder 4 grønne og 4 gule kugler. Hvad er sandsynligheden for grøn? 11. Hvad er 1/4 som procent? 12. Hvad er 3/4 som procent? 13. Hvor mange ordnede udfald er der ved kast med to terninger? 14. Hvad er sandsynligheden for at slå summen 12 med to terninger? 15. En mønt viser plat 7 gange i 10 kast. Hvad er den observerede andel plat?
Svar på opgaverne
1. **1/6 ≈ 16,7 %** 2. **3/6 = 50 %** 3. **4/6 ≈ 66,7 %** 4. **0 %** 5. **100 %** 6. **50 %** 7. **25 %** 8. **2/5 = 40 %** 9. **3/5 = 60 %** 10. **4/8 = 50 %** 11. **25 %** 12. **75 %** 13. **36** 14. **1/36 ≈ 2,8 %** 15. **7/10 = 70 %**
Lær sandsynlighed gennem spil
Sandsynlighed er særligt oplagt at undersøge gennem spil.
Barnet kan eksempelvis:
- kaste terninger og registrere resultaterne - trække farvede kort fra en bunke - gætte, hvilken farve der kommer oftest - sammenligne beregnet sandsynlighed med faktiske resultater - bruge et tælletræ til at finde mulige udfald
Forestil dig en mission med ti magiske krystaller.
Der er:
**5 blå, 3 grønne og 2 røde**
Barnet skal vælge, hvilken farve der er størst chance for at trække.
For at løse missionen skal barnet forstå forholdet mellem antal og sandsynlighed.
Matematikken bliver dermed en del af beslutningen i spillet.
Matematik gennem Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bruges til at løse udfordringer og komme videre i spillet.
Barnet kan arbejde med forskellige matematiske færdigheder gennem spilbaserede opgaver, mens du som forælder kan følge udviklingen.
Skillio har ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**