**En symmetriakse er en linje, der deler en figur i to dele, som er spejlbilleder af hinanden.** Hvis du folder figuren langs symmetriaksen, vil de to dele passe præcis oven på hinanden.
Et kvadrat har eksempelvis:
**4 symmetriakser**
Et rektangel, som ikke er et kvadrat, har:
**2 symmetriakser**
Og en almindelig ligesidet trekant har:
**3 symmetriakser**
Her lærer du at finde symmetriakser i forskellige figurer.
Hvad er symmetri?
Symmetri betyder, at noget har en bestemt form for balance eller overensstemmelse.
Når vi taler om spejlingssymmetri, betyder det, at den ene side af en figur er et spejlbillede af den anden.
Forestil dig et papirhjerte.
Hvis hjertet er tegnet symmetrisk, kan du folde det ned gennem midten.
Så vil de to halvdele passe sammen.
Foldelinjen er:
**en symmetriakse**
Hvad er en symmetriakse?
En symmetriakse er en ret linje, der deler en figur i to spejlvendte dele.
Det betyder, at hvert punkt på den ene side har et tilsvarende punkt på den anden side.
De to punkter ligger lige langt fra symmetriaksen.
Man kan derfor teste en mulig symmetriakse ved at spørge:
**Hvis jeg folder figuren langs denne linje, passer de to halvdele så præcis sammen?**
Hvis svaret er ja, er linjen en symmetriakse.
Sådan finder du en symmetriakse
Du kan bruge denne metode:
Trin 1: Se på figuren
Undersøg dens form.
Trin 2: Forestil dig en foldelinje
Kunne figuren foldes på midten?
Trin 3: Sammenlign siderne
Ville den ene halvdel dække den anden præcist?
Trin 4: Prøv andre retninger
Nogle figurer har flere symmetriakser.
Et kvadrat kan eksempelvis foldes symmetrisk på fire forskellige måder.
Hvor mange symmetriakser har et kvadrat?
Et kvadrat har:
**4 symmetriakser**
To af dem går gennem midten:
- én lodret - én vandret
De sidste to går langs kvadratets diagonaler.
Det giver i alt:
**4**
Et kvadrat har lige lange sider og fire rette vinkler.
Det er med til at give figuren dens symmetri.
Hvor mange symmetriakser har et rektangel?
Et rektangel, der ikke er et kvadrat, har:
**2 symmetriakser**
Den ene går lodret gennem midten.
Den anden går vandret gennem midten.
Diagonalerne er ikke symmetriakser i et almindeligt rektangel.
Hvis alle fire sider er lige lange, er rektanglet også et kvadrat og har fire symmetriakser.
Hvor mange symmetriakser har en cirkel?
En cirkel har:
**uendeligt mange symmetriakser**
Enhver ret linje gennem cirklens centrum deler cirklen i to spejlvendte halvdele.
Det gælder, uanset hvilken retning linjen har.
Derfor kan du blive ved med at tegne nye symmetriakser gennem centrum.
Læs mere om [radius](/blog/radius) og [diameter](/blog/diameter).
Hvor mange symmetriakser har en ligesidet trekant?
En ligesidet trekant har tre lige lange sider.
Den har:
**3 symmetriakser**
Hver symmetriakse går fra et hjørne til midtpunktet på den modstående side.
Hvis du folder trekanten langs en af disse linjer, passer halvdelene sammen.
Hvor mange symmetriakser har en ligebenet trekant?
En ligebenet trekant har mindst to lige lange sider.
Hvis trekanten ikke også er ligesidet, har den:
**1 symmetriakse**
Symmetriaksen går fra toppen mellem de lige lange sider til midten af den modstående side.
En ligesidet trekant er et særligt tilfælde af en ligebenet trekant og har tre symmetriakser.
Hvor mange symmetriakser har en retvinklet trekant?
Det afhænger af trekanten.
En retvinklet trekant med to lige lange kateter har:
**1 symmetriakse**
En retvinklet trekant med tre forskellige sidelængder har:
**0 symmetriakser**
Det er altså ikke nok at vide, at en trekant er retvinklet.
Vi skal også kende dens form.
Hvor mange symmetriakser har en rombe?
En rombe har fire lige lange sider.
En rombe har:
**2 symmetriakser**
De ligger langs rombens diagonaler.
Hvis romben også har fire rette vinkler, er den et kvadrat og har fire symmetriakser.
Læs mere om [hvad en rombe er](/blog/hvad-er-en-rombe).
Hvor mange symmetriakser har et parallelogram?
Et almindeligt parallelogram har:
**0 symmetriakser**
Det kan godt have drejesymmetri uden at have spejlingssymmetri.
Særlige parallelogrammer kan dog have symmetriakser.
Eksempelvis er både rektangler og romber parallelogrammer.
Læs mere om [parallelogrammer](/blog/hvad-er-et-parallelogram).
Hvor mange symmetriakser har et trapez?
Det afhænger af trapezets form.
Et ligebenet trapez har:
**1 symmetriakse**
Den går gennem midten og står vinkelret på de parallelle sider.
Et almindeligt skævt trapez har typisk:
**0 symmetriakser**
Læs mere om [hvad et trapez er](/blog/hvad-er-et-trapez).
Oversigt over symmetriakser
| Figur | Antal symmetriakser | |---|---:| | Kvadrat | 4 | | Rektangel, ikke kvadrat | 2 | | Cirkel | Uendeligt mange | | Ligesidet trekant | 3 | | Ligebenet trekant, ikke ligesidet | 1 | | Trekant med tre forskellige sider | 0 | | Rombe, ikke kvadrat | 2 | | Almindeligt parallelogram | 0 | | Ligebenet trapez, ikke rektangel | 1 |
Husk, at nogle figurer er særlige tilfælde af andre.
Et kvadrat er eksempelvis både et rektangel, en rombe og et parallelogram.
Symmetri i bogstaver
Nogle store bogstaver kan have symmetriakser.
I en enkel, symmetrisk skrifttype kan eksempelvis:
**A**
have én lodret symmetriakse.
Bogstavet:
**H**
kan have både en lodret og en vandret symmetriakse.
Og:
**O**
kan have flere symmetriakser, afhængigt af bogstavets præcise form.
Det er vigtigt at se på, hvordan bogstavet faktisk er tegnet.
Forskellige skrifttyper kan give forskellige resultater.
Symmetri i naturen
Symmetri findes mange steder i naturen.
Eksempler er:
- sommerfuglevinger - blade - blomster - snefnug - visse skaller - mange dyrs kropsformer
En sommerfugl kan eksempelvis have en omtrent symmetrisk form omkring en linje gennem kroppen.
Men naturen er ikke altid matematisk perfekt.
En rigtig sommerfugls vinger kan have små forskelle.
Derfor skelner vi mellem:
**omtrentlig symmetri i virkeligheden**
og:
**præcis symmetri i matematiske figurer**
Symmetri i hverdagen
Du kan også finde symmetri i:
- bygninger - vinduer - møbler - logoer - mønstre - fliser - vejskilte - dekorationer
Prøv at kigge rundt i hjemmet.
Kan du finde noget med én symmetriakse?
Noget med to?
Og noget med flere?
Hvad er spejling?
Spejling er en geometrisk transformation.
Når et punkt eller en figur spejles i en linje, bliver resultatet et spejlbillede.
Linjen kaldes:
**spejlingsaksen**
Hvis en figur er symmetrisk om denne linje, er spejlingsaksen samtidig en symmetriakse for figuren.
Spejling i et koordinatsystem
Koordinater gør det lettere at beskrive spejling præcist.
Forestil dig punktet:
**A = (3,2)**
Vi spejler det i y-aksen.
Det nye punkt bliver:
**A' = (-3,2)**
X-koordinaten skifter fortegn.
Y-koordinaten er uændret.
Punkterne ligger lige langt fra y-aksen.
Spejling i x-aksen
Punktet er:
**B = (4,3)**
Hvis vi spejler det i x-aksen, får vi:
**B' = (4,-3)**
Her er x-koordinaten uændret.
Y-koordinaten skifter fortegn.
Læs vores guide til [koordinatsystemer](/blog/koordinatsystem).
Spejling i y-aksen – regel
Hvis et punkt har koordinaterne:
**(x,y)**
bliver det ved spejling i y-aksen:
**(-x,y)**
Eksempel:
**(5,2) → (-5,2)**
Spejling i x-aksen – regel
Hvis et punkt har koordinaterne:
**(x,y)**
bliver det ved spejling i x-aksen:
**(x,-y)**
Eksempel:
**(3,6) → (3,-6)**
Symmetri og drejesymmetri
Spejlingssymmetri og drejesymmetri er ikke det samme.
Spejlingssymmetri
Figuren kan spejles i en linje og stadig passe med sig selv.
Drejesymmetri
Figuren kan drejes mindre end en hel omgang omkring et punkt og stadig passe med sig selv.
Et almindeligt parallelogram har eksempelvis:
**drejesymmetri på 180°**
men normalt:
**ingen symmetriakser**
Det viser, at en figur kan være symmetrisk på én måde uden at være det på en anden.
Symmetri og mønstre
Symmetri bruges også til at skabe mønstre.
Forestil dig, at du tegner halvdelen af et monster.
Derefter skal du tegne den anden halvdel, så den passer som et spejlbillede.
Du skal være opmærksom på:
- afstand til midterlinjen - størrelse - form - placering - retning
Det er en god øvelse i geometrisk forståelse.
Tegn en symmetrisk figur
Prøv denne aktivitet.
Trin 1
Tag et ternet papir.
Trin 2
Tegn en lodret linje i midten.
Trin 3
Tegn en halv figur på venstre side.
Det kan eksempelvis være et slot eller en robot.
Trin 4
Tegn den anden halvdel på højre side.
Hvert punkt skal ligge lige langt fra midterlinjen som det tilsvarende punkt på venstre side.
Trin 5
Kontroller, om figuren er symmetrisk.
Du kan eventuelt folde papiret langs linjen.
Typisk fejl: en linje gennem midten er ikke altid en symmetriakse
En linje bliver ikke automatisk en symmetriakse, bare fordi den går gennem figurens midte.
Den skal dele figuren i:
**to spejlvendte halvdele**
Eksempelvis går diagonalen i et almindeligt rektangel gennem midten.
Men den er ikke en symmetriakse, medmindre rektanglet er et kvadrat.
Typisk fejl: at forveksle symmetri med to lige store dele
En figur kan deles i to dele med samme areal uden at delene er spejlbilleder.
Det er ikke nok, at delene er lige store.
De skal også passe sammen ved spejling.
Typisk fejl: at tro alle trekanter har en symmetriakse
En trekant med tre forskellige sidelængder har:
**0 symmetriakser**
En ligebenet trekant, som ikke er ligesidet, har:
**1**
En ligesidet trekant har:
**3**
Antallet afhænger altså af trekantens form.
20 opgaver om symmetri
Opgave 1
Hvad er en symmetriakse?
Opgave 2
Hvor mange symmetriakser har et kvadrat?
Opgave 3
Hvor mange symmetriakser har et rektangel, der ikke er et kvadrat?
Opgave 4
Hvor mange symmetriakser har en cirkel?
Opgave 5
Hvor mange symmetriakser har en ligesidet trekant?
Opgave 6
Hvor mange symmetriakser har en ligebenet trekant, der ikke er ligesidet?
Opgave 7
Hvor mange symmetriakser har en trekant med tre forskellige sider?
Opgave 8
Hvor mange symmetriakser har en rombe, der ikke er et kvadrat?
Opgave 9
Har et almindeligt skævt parallelogram en symmetriakse?
Opgave 10
Hvor mange symmetriakser har et ligebenet trapez, der ikke er et rektangel?
Opgave 11
Hvad bliver punktet (3,2), når det spejles i y-aksen?
Opgave 12
Hvad bliver punktet (4,5), når det spejles i x-aksen?
Opgave 13
Hvad bliver punktet (-2,3), når det spejles i y-aksen?
Opgave 14
Hvad bliver punktet (5,-4), når det spejles i x-aksen?
Opgave 15
Skal to halvdele have samme areal for at være spejlsymmetriske?
Opgave 16
Er samme areal alene nok til at gøre to halvdele spejlsymmetriske?
Opgave 17
Kan en figur have drejesymmetri uden at have en symmetriakse?
Opgave 18
Hvor mange symmetriakser har et kvadrat langs sine diagonaler?
Opgave 19
Skifter x- eller y-koordinaten fortegn ved spejling i y-aksen?
Opgave 20
Skifter x- eller y-koordinaten fortegn ved spejling i x-aksen?
Svar på opgaverne
1. **En linje, der deler figuren i to spejlvendte halvdele.** 2. **4** 3. **2** 4. **Uendeligt mange** 5. **3** 6. **1** 7. **0** 8. **2** 9. **Nej** 10. **1** 11. **(-3,2)** 12. **(4,-5)** 13. **(2,3)** 14. **(5,4)** 15. **Ja** 16. **Nej** 17. **Ja** 18. **2** 19. **X-koordinaten** 20. **Y-koordinaten**
Lær symmetri gennem spil
Symmetri er særligt velegnet til visuelle spil.
Forestil dig, at barnet skal reparere et magisk spejl.
Den ene halvdel af et mønster er allerede tegnet.
Barnet skal placere de manglende brikker på den anden side, så hele mønstret bliver symmetrisk.
Hvis en brik ligger:
**3 felter fra symmetriaksen**
skal den tilsvarende brik også ligge:
**3 felter fra aksen**
på den modsatte side.
I en anden bane kan barnet skulle vælge, hvilken figur der har præcis to symmetriakser.
På den måde bliver symmetri noget, barnet undersøger og bruger aktivt.
Geometri i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik indgår i spillets udfordringer.
Barnet kan arbejde med blandt andet former, mønstre, koordinater, areal og omkreds gennem forskellige matematiske opgaver.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der er behov for mere træning.
Skillio har ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**