Et **tælletræ er en metode til at finde og vise alle mulige kombinationer eller udfald i en opgave**.
Tælletræer bruges især, når der er flere valg efter hinanden.
Eksempel:
Du har:
**2 trøjer**
og:
**3 par bukser**
Hvor mange forskellige sæt tøj kan du lave?
Et tælletræ kan vise alle mulighederne.
Der er:
**2 × 3 = 6 kombinationer**
Hvad er et tælletræ?
Et tælletræ er et diagram, hvor mulighederne deler sig i grene.
Det kan minde om et træ.
Du starter ét sted og tegner derefter en gren for hvert muligt valg.
Hvis der kommer endnu et valg bagefter, deler hver gren sig igen.
På den måde kan du systematisk finde:
**alle muligheder**
uden at glemme nogen.
Et simpelt eksempel
Forestil dig, at du skal vælge en is.
Du kan vælge mellem:
**vanilje**
eller:
**chokolade**
Derefter kan du vælge:
**vaffel**
eller:
**bæger**
Mulighederne er:
**vanilje + vaffel**
**vanilje + bæger**
**chokolade + vaffel**
**chokolade + bæger**
Der er altså:
**4 muligheder**
Sådan ser tankegangen ud
Start:
**Is**
Første valg:
**Vanilje** **Chokolade**
Fra vanilje kan du vælge:
**Vaffel** **Bæger**
Fra chokolade kan du også vælge:
**Vaffel** **Bæger**
Der er derfor:
**2 × 2 = 4**
muligheder.
Hvorfor bruger man et tælletræ?
Tælletræet hjælper dig med at:
- finde alle muligheder - holde styr på flere valg - undgå at tælle den samme mulighed flere gange - forstå kombinatorik - arbejde med sandsynlighed
Det er især nyttigt, når det bliver svært at holde alle mulighederne i hovedet.
Eksempel med tøj
Du har tre trøjer:
**rød**
**blå**
**grøn**
Og to par bukser:
**sorte**
**grå**
Hvor mange outfits kan du lave?
For hver trøje er der:
**2 muligheder**
Derfor:
**3 × 2 = 6**
Mulighederne er:
1. Rød + sort 2. Rød + grå 3. Blå + sort 4. Blå + grå 5. Grøn + sort 6. Grøn + grå
Tælletræet ville have:
**3 grene**
som hver deler sig i:
**2 nye grene**
Tælletræ med tre valg
Et tælletræ kan også have flere niveauer.
Forestil dig, at du skal bygge en figur.
Du vælger først:
**Kriger eller troldmand**
Derefter:
**Sværd eller stav**
Til sidst:
**Rød eller blå kappe**
Antallet af kombinationer bliver:
**2 × 2 × 2 = 8**
Der findes altså:
**8 forskellige kombinationer**
Multiplikationsprincippet
Tælletræer hænger tæt sammen med multiplikation.
Hvis du har:
**3 muligheder**
i første valg og:
**4 muligheder**
i andet valg, får du:
**3 × 4 = 12**
kombinationer.
Det kaldes ofte:
**multiplikationsprincippet**
Tælletræet viser visuelt, hvorfor reglen virker.
Eksempel: Pizza
Du kan vælge mellem:
**3 slags bund**
og:
**4 slags topping**
Hvis alle bunde kan kombineres med alle toppings, er der:
**3 × 4 = 12**
forskellige pizzaer.
Eksempel med tre valg
En sandwichbutik tilbyder:
**2 slags brød**
**3 slags fyld**
**2 slags dressing**
Antallet af forskellige sandwiches er:
**2 × 3 × 2**
=
**12**
Tælletræ og kombinatorik
Tælletræer bruges inden for:
**kombinatorik**
Kombinatorik handler blandt andet om at finde ud af:
**Hvor mange forskellige muligheder findes der?**
Det kan eksempelvis være:
- outfits - koder - måltider - spillefigurer - ruter - farvekombinationer
Tælletræet er en god introduktion, fordi alle muligheder bliver synlige.
Tælletræ og sandsynlighed
Tælletræer kan også bruges til sandsynlighed.
Forestil dig, at du kaster en mønt:
**Plat** **Krone**
Du kaster mønten to gange.
Mulighederne er:
**Plat – Plat**
**Plat – Krone**
**Krone – Plat**
**Krone – Krone**
Der er:
**4 mulige udfald**
Eksempel med to møntkast
Hvor mange af de fire muligheder indeholder præcis én krone?
De er:
**Plat – Krone**
og:
**Krone – Plat**
Der er:
**2**
ud af:
**4**
muligheder.
Sandsynligheden er derfor:
**2/4 = 1/2 = 50 %**
Tælletræet kan altså gøre sandsynlighed meget lettere at se.
Tælletræ med en terning
Forestil dig, at du først kaster en mønt og derefter en terning.
Mønten har:
**2 mulige udfald**
Terningen har:
**6 mulige udfald**
Der er derfor:
**2 × 6 = 12**
mulige kombinationer.
Hvordan laver man et tælletræ?
Trin 1: Find det første valg
Eksempel:
Du kan vælge:
**rød eller blå**
Tegn én gren til hver mulighed.
Trin 2: Find det næste valg
Fra hver gren tegner du de nye muligheder.
Eksempel:
**stor eller lille**
Trin 3: Fortsæt, hvis der er flere valg
Hver ny valgmulighed bliver til en ny gren.
Trin 4: Følg grenene fra start til slut
Hver færdig rute gennem træet er:
**én kombination**
Trin 5: Tæl slutpunkterne
Antallet af slutpunkter viser:
**antallet af muligheder**
Eksempel med farver og former
Du kan vælge:
**rød, blå eller grøn**
og derefter:
**cirkel eller firkant**
Første valg har:
**3 muligheder**
Andet valg har:
**2 muligheder**
Derfor:
**3 × 2 = 6**
kombinationer.
De er:
- rød cirkel - rød firkant - blå cirkel - blå firkant - grøn cirkel - grøn firkant
Hvornår er et tælletræ smart?
Et tælletræ er især smart, når:
**der er flere valg efter hinanden**
og du vil sikre dig, at:
**alle muligheder bliver fundet**
Ved meget store opgaver kan det være hurtigere at bruge multiplikation.
Men tælletræet hjælper med at forstå, hvorfor man ganger.
Tælletræ eller liste?
Ved meget små opgaver kan du bare skrive en liste.
Eksempel:
**rød + stor**
**rød + lille**
**blå + stor**
**blå + lille**
Men når der kommer flere valg, bliver en liste hurtigt uoverskuelig.
Her kan et tælletræ være lettere.
Tælletræ eller tabel?
En tabel kan også bruges til to typer valg.
Hvis du har:
**3 trøjer**
og:
**2 bukser**
kan du lave en tabel med trøjer på den ene led og bukser på den anden.
Tælletræet er især nyttigt, når der kommer:
**tre eller flere valg efter hinanden**
Eksempel med en kode
En kode består af:
**ét bogstav**
og:
**ét tal**
Bogstavet kan være:
**A, B eller C**
Tallet kan være:
**1, 2, 3 eller 4**
Hvor mange koder kan laves?
Beregn:
**3 × 4 = 12**
Der findes:
**12 koder**
Eksempel med en spilfigur
Du kan vælge:
**3 helte**
**2 våben**
**4 companions**
Hvor mange forskellige kombinationer findes der?
Beregn:
**3 × 2 × 4**
=
**24**
Der er:
**24 forskellige kombinationer**
Typisk fejl: Man glemmer en gren
Hvis der er tre muligheder ved hvert valg, skal alle relevante grene have de tre muligheder.
Hvis én gren kun får to, mangler der en kombination.
Typisk fejl: Man lægger i stedet for at gange
Hvis du har:
**3 trøjer**
og:
**2 bukser**
er antallet af kombinationer ikke:
**3 + 2 = 5**
Hver trøje kan bruges med begge bukser.
Derfor:
**3 × 2 = 6**
Typisk fejl: Man tæller den samme kombination to gange
Et systematisk tælletræ hjælper netop med at undgå dette.
Følg hver gren én gang fra:
**start til slut**
20 opgaver med tælletræer
Opgave 1
Du har 2 trøjer og 2 par bukser.
Hvor mange outfits kan du lave?
Opgave 2
Du har 3 trøjer og 2 par bukser.
Hvor mange outfits?
Opgave 3
Du kan vælge mellem 2 is og 3 toppings.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 4
Du kan vælge mellem 4 slags brød og 2 slags fyld.
Hvor mange sandwiches?
Opgave 5
Du har 3 farver og 3 former.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 6
Du kan vælge 2 helte og 4 våben.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 7
Du vælger mellem 2 figurer, 2 våben og 2 companions.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 8
Du vælger mellem 3 figurer, 2 våben og 2 skjolde.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 9
En mønt kastes én gang.
Hvor mange mulige udfald?
Opgave 10
En mønt kastes to gange.
Hvor mange mulige udfald?
Opgave 11
En mønt kastes tre gange.
Hvor mange mulige udfald?
Opgave 12
En terning har 6 mulige udfald. Du kaster en mønt bagefter.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 13
En kode har ét bogstav fra A, B eller C og ét tal fra 1 til 5.
Hvor mange koder?
Opgave 14
Du har 4 trøjer, 3 bukser og 2 par sko.
Hvor mange outfits?
Opgave 15
Der er 2 forretter, 4 hovedretter og 3 desserter.
Hvor mange forskellige menuer?
Opgave 16
Hvor mange udfald er der ved to møntkast, hvor begge kast er plat?
Opgave 17
Ved to møntkast er der fire mulige udfald. Hvor mange indeholder præcis én krone?
Opgave 18
Der er 5 farver og 2 størrelser.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 19
Et spil har 4 helte, 3 våben og 5 kæledyr.
Hvor mange kombinationer?
Opgave 20
Hvis et valg har 3 muligheder og det næste har 6 muligheder, hvor mange kombinationer findes der?
Svar på opgaverne
1. **4** 2. **6** 3. **6** 4. **8** 5. **9** 6. **8** 7. **8** 8. **12** 9. **2** 10. **4** 11. **8** 12. **12** 13. **15** 14. **24** 15. **24** 16. **1** 17. **2** 18. **10** 19. **60** 20. **18**
Sådan lærer børn tælletræer lettere
Start med rigtige ting.
Find eksempelvis:
**2 T-shirts**
og:
**3 par bukser**
Lad barnet fysisk kombinere dem.
Skriv derefter mulighederne ned.
Til sidst tegner I tælletræet.
Nu kan barnet se sammenhængen mellem:
**de virkelige kombinationer → tælletræet → regnestykket 2 × 3**
Tælletræ gennem spil
Forestil dig, at barnet skal sammensætte en helt til en mission.
Der er:
**3 helte**
**2 våben**
**2 companions**
Barnet skal finde ud af, hvor mange forskellige hold der kan bygges.
Tælletræet viser alle mulighederne.
Derefter opdager barnet:
**3 × 2 × 2 = 12**
Der findes:
**12 forskellige kombinationer**
Matematikken bliver dermed en del af et konkret valg i spillet.
Det er den type matematik, vi arbejder med i Skillio.
Læs mere
Læs også:
- [Matematik for børn](/blog/matematik-for-born) - [Matematikopgaver for børn](/blog/matematikopgaver-for-boern) - [Procentregning](/blog/procentregning) - [Brøker](/blog/hvad-er-en-broek)
Træn matematik gennem Skillio
Skillio er et online spilunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af selve spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med mønstre, kombinatorik, talforståelse og problemløsning.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der kan være brug for mere træning.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**