**En cirkel er en geometrisk figur, hvor alle punkter på cirklens rand har samme afstand til centrum. Denne afstand kaldes radius.**
De vigtigste formler for en cirkel er:
**Diameter: d = 2r**
**Omkreds: O = 2πr = πd**
**Areal: A = πr²**
hvor:
**r = radius**
**d = diameter**
**π ≈ 3,14**
Her lærer du de vigtigste begreber og formler for cirkler med nemme eksempler.
Hvad er en cirkel?
En cirkel er en todimensionel geometrisk figur.
Midt i cirklen ligger:
**centrum**
Alle punkter på cirklens rand har præcis samme afstand til centrum.
Denne afstand kaldes:
**radius**
Hvis radius bliver større, bliver hele cirklen større.
Cirkel og cirkelskive
I daglig tale bruger vi ofte ordet "cirkel" om hele den runde figur.
Matematisk kan man skelne mellem:
**cirkel = selve randen**
og:
**cirkelskive = området inden for randen**
I almindelige skoleopgaver bruges "cirklens areal" dog ofte om arealet af området inden for cirklen.
Cirklens centrum
Centrum er punktet præcis midt i cirklen.
Det kan eksempelvis kaldes:
**C**
Alle punkter på cirklens rand ligger lige langt fra C.
Hvis afstanden fra centrum til randen er:
**5 cm**
har cirklen radius:
**5 cm**
Hvad er radius?
Radius er afstanden fra:
**centrum til cirklens rand**
Radius skrives normalt:
**r**
Hvis:
**r = 4 cm**
er afstanden fra centrum til ethvert punkt på randen:
**4 cm**
Læs mere i vores guide til [radius](/blog/radius).
Hvad er diameter?
Diameteren er en linje fra den ene side af cirklen til den anden:
**gennem centrum**
Diameteren er dobbelt så lang som radius.
Formlen er:
**d = 2r**
Eksempel
Hvis:
**r = 6 cm**
så:
**d = 2 × 6**
**d = 12 cm**
Læs mere om [diameter](/blog/diameter).
Find radius ud fra diameter
Hvis du kender diameteren:
**r = d / 2**
Eksempel:
**d = 18 cm**
Så:
**r = 18 / 2**
**r = 9 cm**
Radius og diameter
| Radius | Diameter | |---:|---:| | 1 cm | 2 cm | | 2 cm | 4 cm | | 3 cm | 6 cm | | 5 cm | 10 cm | | 10 cm | 20 cm | | 25 cm | 50 cm |
Sammenhængen er altid:
**d = 2r**
Hvad er pi?
Pi skrives med det græske bogstav:
**π**
Pi er forholdet mellem en cirkels:
**omkreds**
og:
**diameter**
Det betyder:
**π = omkreds / diameter**
Pi er cirka:
**3,14159...**
I mange skoleopgaver bruger man:
**π ≈ 3,14**
Pi har uendeligt mange decimaler og gentager sig ikke i et fast mønster.
Cirklens omkreds
Omkredsen fortæller, hvor langt der er hele vejen rundt om cirklen.
Du kan bruge:
**O = 2πr**
eller:
**O = πd**
Begge formler giver det samme resultat, fordi:
**d = 2r**
Eksempel på omkreds med radius
En cirkel har:
**r = 5 cm**
Så:
**O = 2 × π × 5**
**O = 10π**
Med:
**π ≈ 3,14**
får vi:
**O ≈ 31,4 cm**
Eksempel på omkreds med diameter
Diameteren er:
**12 cm**
Så:
**O = π × 12**
Med π ≈ 3,14:
**O ≈ 37,68 cm**
Læs mere i vores guide til [omkreds af cirkel](/blog/omkreds-af-cirkel).
Cirklens areal
Arealet fortæller, hvor meget plads der er inden for cirklens rand.
Formlen er:
**A = πr²**
Det betyder:
**radius × radius × π**
Eksempel på areal
Radius er:
**4 cm**
Så:
**A = π × 4²**
**A = 16π**
Med π ≈ 3,14:
**A ≈ 50,24 cm²**
Areal med diameter
Hvis du får diameteren, skal du først finde radius.
Eksempel:
**d = 10 cm**
Så:
**r = 5 cm**
Derefter:
**A = π × 5²**
**A = 25π**
cirka:
**78,5 cm²**
Læs mere om [areal af en cirkel](/blog/areal-af-en-cirkel).
Forskel på omkreds og areal
Det er vigtigt ikke at blande de to sammen.
Omkreds
Fortæller:
**hvor langt der er rundt om cirklen**
Måles eksempelvis i:
**cm**
Formel:
**O = 2πr**
Areal
Fortæller:
**hvor stort området inden for cirklen er**
Måles eksempelvis i:
**cm²**
Formel:
**A = πr²**
Eksempel
En cirkel har radius:
**3 cm**
Omkreds:
**O = 2 × 3,14 × 3**
**O = 18,84 cm**
Areal:
**A = 3,14 × 3²**
**A = 28,26 cm²**
Tallene og enhederne beskriver altså to forskellige ting.
Hvad er en cirkelbue?
En cirkelbue er en del af cirklens rand.
Hvis du kun følger en del af vejen rundt om cirklen, følger du en:
**bue**
En halvcirkel har eksempelvis en bue, der udgør halvdelen af hele cirklens omkreds.
Hvad er en korde?
En korde er et linjestykke mellem:
**to punkter på cirklens rand**
Diameteren er faktisk også en korde.
Men den er særlig, fordi den går gennem:
**centrum**
Diameteren er den længste mulige korde i en cirkel.
Hvad er en tangent?
En tangent er en ret linje, der rører cirklen i:
**ét punkt**
Radius til berøringspunktet står vinkelret på tangenten.
Vinklen mellem radius og tangent er derfor:
**90°**
Hvad er en sekant?
En sekant er en linje, der skærer cirklen i:
**to punkter**
Det adskiller den fra tangenten, der kun rører cirklen i ét punkt.
Hvad er en halvcirkel?
Hvis en cirkel deles langs en diameter, får vi:
**to halvcirkler**
Arealet af en halvcirkel er:
**A = πr² / 2**
Hvis:
**r = 4 cm**
så:
**A = 16π / 2**
**A = 8π**
cirka:
**25,12 cm²**
Omkreds af en halvcirkel
Her skal du være opmærksom.
Hvis du skal finde hele kanten rundt om en halvcirkelformet figur, består den af:
**halvdelen af cirklens omkreds**
plus:
**diameteren**
Derfor:
**O = πr + 2r**
Eksempel
Radius er:
**5 cm**
Så:
**O = 5π + 10**
Med π ≈ 3,14:
**O ≈ 15,7 + 10**
**O ≈ 25,7 cm**
Hvad er en kvartcirkel?
En kvartcirkel er:
**1/4 af en cirkel**
Arealet er derfor:
**A = πr² / 4**
Hvis radius er:
**8 cm**
så:
**A = 64π / 4**
**A = 16π**
cirka:
**50,24 cm²**
Cirklens grader
En hel cirkel svarer til:
**360°**
En halvcirkel svarer til:
**180°**
En kvartcirkel svarer til:
**90°**
Derfor kan dele af en cirkel også beskrives ved hjælp af vinkler.
Cirkel i et koordinatsystem
En cirkel kan placeres i et koordinatsystem.
Hvis centrum ligger i:
**(0,0)**
og radius er:
**5**
kan cirklen beskrives med:
**x² + y² = 25**
Det betyder, at alle punkter på cirklen ligger præcis 5 enheder fra centrum.
Eksempel:
**(3,4)**
ligger på cirklen, fordi:
**3² + 4² = 9 + 16 = 25**
Læs mere om [ligning for cirkel](/blog/ligning-for-cirkel).
Cirkel og cylinder
En cirkel er en:
**2D-figur**
En cylinder er en:
**3D-figur**
Cylinderens top og bund er cirkler.
Hvis en cylinder har radius r og højde h, er dens rumfang:
**V = πr²h**
Læs mere om [cylindere](/blog/cylinder).
Hvad sker der, hvis radius fordobles?
Det giver forskellige resultater for omkreds og areal.
Omkreds
**O = 2πr**
Hvis radius fordobles, bliver omkredsen:
**dobbelt så stor**
Areal
**A = πr²**
Hvis radius fordobles:
**(2r)² = 4r²**
Arealet bliver derfor:
**4 gange så stort**
Eksempel
Første cirkel:
**r = 2**
Areal:
**A = 4π**
Anden cirkel:
**r = 4**
Areal:
**A = 16π**
Og:
**16π / 4π = 4**
Radius er fordoblet, men arealet er firedoblet.
Find radius ud fra omkredsen
Fra:
**O = 2πr**
kan vi isolere r:
**r = O / (2π)**
Eksempel
Omkredsen er:
**31,4 cm**
Brug π ≈ 3,14:
**r = 31,4 / (2 × 3,14)**
**r = 31,4 / 6,28**
**r = 5 cm**
Find diameter ud fra omkredsen
Fra:
**O = πd**
får vi:
**d = O / π**
Hvis:
**O = 31,4 cm**
så:
**d = 31,4 / 3,14**
**d = 10 cm**
Find radius ud fra arealet
Fra:
**A = πr²**
får vi:
**r² = A / π**
og:
**r = √(A / π)**
Eksempel
Arealet er:
**78,5 cm²**
Med π ≈ 3,14:
**r = √(78,5 / 3,14)**
**r = √25**
**r = 5 cm**
Cirkler i hverdagen
Cirkelformen findes mange steder.
Eksempler:
- mønter - tallerkener - ure - hjul - pizzaer - runde borde - trafikskilte - låg
Når man skal beregne eksempelvis størrelsen på en rund overflade eller længden rundt om den, bliver cirklens formler nyttige.
Typisk fejl: radius og diameter forveksles
Hvis:
**d = 12 cm**
er:
**r = 6 cm**
Hvis du bruger arealformlen:
**A = πr²**
skal du derfor bruge:
**6**
og ikke 12.
Typisk fejl: radius sættes ikke i anden
Arealet er:
**A = πr²**
Hvis:
**r = 5**
så:
**r² = 25**
Ikke:
**10**
Typisk fejl: omkreds og areal blandes sammen
Omkreds:
**O = 2πr**
Areal:
**A = πr²**
En god kontrol er enheden.
Omkreds kan måles i:
**cm**
Areal kan måles i:
**cm²**
Typisk fejl: kun buen tælles ved halvcirkel
Hvis opgaven spørger efter hele omkredsen af en halvcirkelformet figur, skal du også medregne:
**diameteren**
Ellers har du kun fundet længden af den buede del.
Hurtig oversigt over cirklen
| Begreb | Formel/forklaring | |---|---| | Radius | Centrum til rand | | Diameter | d = 2r | | Radius fra diameter | r = d/2 | | Omkreds | O = 2πr | | Omkreds med diameter | O = πd | | Areal | A = πr² | | Hel cirkel | 360° | | Halvcirkel | 180° | | Kvartcirkel | 90° | | Pi | π ≈ 3,14 |
20 opgaver om cirkler
Brug **π ≈ 3,14**, når det er nødvendigt.
Opgave 1
Hvad kaldes punktet midt i en cirkel?
Opgave 2
Hvad kaldes afstanden fra centrum til randen?
Opgave 3
Radius er 5 cm. Find diameteren.
Opgave 4
Diameteren er 16 cm. Find radius.
Opgave 5
Hvad er formlen for cirklens omkreds med radius?
Opgave 6
Hvad er formlen for cirklens areal?
Opgave 7
Radius er 4 cm. Find omkredsen.
Opgave 8
Radius er 4 cm. Find arealet.
Opgave 9
Diameteren er 10 cm. Find omkredsen.
Opgave 10
Diameteren er 10 cm. Find arealet.
Opgave 11
Hvor mange grader er en hel cirkel?
Opgave 12
Hvor mange grader er en halvcirkel?
Opgave 13
Hvor mange grader er en kvartcirkel?
Opgave 14
Hvad kaldes et linjestykke mellem to punkter på cirklens rand?
Opgave 15
Hvad kaldes en linje, der rører cirklen i ét punkt?
Opgave 16
Radius fordobles. Hvad sker der med omkredsen?
Opgave 17
Radius fordobles. Hvad sker der med arealet?
Opgave 18
Omkredsen er 31,4 cm. Find diameteren.
Opgave 19
Arealet er 78,5 cm². Find radius.
Opgave 20
Ligger punktet (3,4) på cirklen x² + y² = 25?
Svar
1. **Centrum** 2. **Radius** 3. **10 cm** 4. **8 cm** 5. **O = 2πr** 6. **A = πr²** 7. **25,12 cm** 8. **50,24 cm²** 9. **31,4 cm** 10. **78,5 cm²** 11. **360°** 12. **180°** 13. **90°** 14. **Korde** 15. **Tangent** 16. **Den bliver dobbelt så stor** 17. **Det bliver fire gange så stort** 18. **10 cm** 19. **5 cm** 20. **Ja**
Lær om cirkler gennem spil
Forestil dig, at barnet skal bygge et rundt skjold i et spil.
Skjoldet har radius:
**5 felter**
For at finde materialet til kanten skal barnet beregne omkredsen:
**O = 2π × 5**
cirka:
**31,4 felter**
Hvis barnet i stedet skal finde størrelsen på hele skjoldets overflade:
**A = π × 5²**
cirka:
**78,5 kvadratfelter**
Barnet skal dermed først afgøre:
**Skal jeg bruge omkreds eller areal?**
Det er ofte netop den forståelse, der er vigtigere end blot at kunne huske en formel.
Cirkler og geometri i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver brugt direkte i spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, areal, omkreds, koordinater og andre matematiske færdigheder, mens du som forælder kan følge udviklingen.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**