Cylinder – hvad er en cylinder?

**En cylinder er en rumlig geometrisk figur med to lige store, parallelle cirkler som grundflader.** De to cirkler forbindes af en krum sideflade.

En dåse er et godt eksempel på en genstand, der omtrent har form som en cylinder.

De vigtigste formler for en ret cirkulær cylinder er:

**Rumfang: V = πr²h**

**Overfladeareal: A = 2πr² + 2πrh**

hvor:

**r = radius**

**h = højde**

Her lærer du, hvordan en cylinder er bygget op, og hvordan du beregner dens rumfang og overfladeareal.

Hvad er en cylinder?

En cylinder er en tredimensionel figur.

Det betyder, at den har:

- længde - bredde - højde

En almindelig ret cirkulær cylinder har:

**to cirkelformede grundflader**

De er:

**lige store**

og:

**parallelle**

Mellem cirklerne ligger cylinderens:

**krumme sideflade**

Eksempler på cylindere

Du kan finde cylinderlignende former mange steder i hverdagen.

Eksempler:

- dåser - rør - batterier - nogle glas - paprør - søjler - beholdere

Virkelige genstande er ikke altid perfekte matematiske cylindere, men formen kan ofte beskrives godt med en cylindermodel.

Cylinderens grundflader

En cylinder har:

**2 cirkelformede grundflader**

De har samme:

**radius**

og samme:

**diameter**

Hvis den ene cirkel har radius:

**5 cm**

har den anden cirkel også radius:

**5 cm**

Cylinderens radius

Radius er afstanden:

**fra centrum af den cirkelformede grundflade til kanten**

Hvis diameteren er:

**10 cm**

er radius:

**5 cm**

Fordi:

**r = d ÷ 2**

Læs mere om [radius](/blog/radius).

Cylinderens diameter

Diameteren går:

**fra den ene side af cirklen til den anden gennem centrum**

Diameteren er altid:

**2 × radius**

Altså:

**d = 2r**

Hvis radius er:

**4 cm**

er diameteren:

**8 cm**

Læs mere om [diameter](/blog/diameter).

Cylinderens højde

Højden i en ret cylinder er den vinkelrette afstand mellem de to cirkelformede grundflader.

Hvis en dåse står oprejst, er højden afstanden fra:

**bunden til toppen**

Højden skrives ofte:

**h**

Cylinderens vigtigste mål

Når du arbejder med en cylinder, skal du især kende:

**radius, r**

**diameter, d**

**højde, h**

Sammenhængen mellem radius og diameter er:

**d = 2r**

og:

**r = d/2**

Er en cylinder en rumlig figur?

Ja.

En cirkel er:

**todimensionel**

En cylinder er:

**tredimensionel**

En cirkel har areal.

En cylinder har både:

**overfladeareal**

og:

**rumfang**

Det er derfor vigtigt ikke at forveksle en cirkel med en cylinder.

Cylinderens rumfang

Rumfang fortæller, hvor meget plads der er inde i cylinderen.

Formlen er:

**V = πr²h**

Hvor:

**V = rumfang**

**π ≈ 3,14**

**r = radius**

**h = højde**

Formlen kommer af:

**grundfladens areal × højde**

Da grundfladen er en cirkel:

**G = πr²**

får vi:

**V = πr²h**

Eksempel på rumfang

En cylinder har:

**radius = 4 cm**

**højde = 10 cm**

Så:

**V = π × 4² × 10**

Først:

**4² = 16**

Så:

**V = 160π**

Med π ≈ 3,14:

**V ≈ 502,4 cm³**

Cylinderens rumfang er cirka:

**502,4 cm³**

Du kan se flere eksempler i vores guide til [rumfang af cylinder](/blog/rumfang-af-cylinder).

Hvad er cylinderens overfladeareal?

Overfladearealet er det samlede areal af:

**hele cylinderens yderside**

Det består af:

**to cirkler**

plus:

**den krumme sideflade**

For en lukket ret cylinder er formlen:

**A = 2πr² + 2πrh**

Hvor kommer formlen fra?

Hver cirkel har arealet:

**πr²**

Der er to cirkler.

Derfor:

**2πr²**

Men vi skal også have sidefladen med.

Hvis vi klipper cylinderens side op og folder den fladt ud, bliver den til et:

**rektangel**

Rektanglets ene side er cylinderens højde:

**h**

Den anden side svarer til omkredsen af cirklen:

**2πr**

Sidefladens areal er derfor:

**2πr × h**

=

**2πrh**

Hele overfladearealet bliver:

**A = 2πr² + 2πrh**

Eksempel på overfladeareal

En cylinder har:

**r = 3 cm**

**h = 8 cm**

Formlen er:

**A = 2πr² + 2πrh**

Indsæt:

**A = 2π × 3² + 2π × 3 × 8**

Først:

**2π × 9 = 18π**

Derefter:

**2π × 3 × 8 = 48π**

Så:

**A = 18π + 48π**

**A = 66π**

Med π ≈ 3,14:

**A ≈ 207,24 cm²**

Cylinderens sideareal

Hvis du kun skal finde den krumme sideflades areal, bruger du:

**A_side = 2πrh**

Eksempel:

**r = 5 cm**

**h = 10 cm**

Så:

**A_side = 2 × 3,14 × 5 × 10**

**A_side = 314 cm²**

Her er top og bund ikke medregnet.

Cylinderens net

Hvis du folder en lukket cylinders overflade ud, består nettet af:

**2 cirkler**

og:

**1 rektangel**

Rektanglets højde svarer til:

**cylinderens højde**

Rektanglets bredde svarer til:

**cirklens omkreds**

altså:

**2πr**

Det gør det lettere at forstå formlen for overfladeareal.

Cirklens omkreds i en cylinder

Cylinderens grundflade er en cirkel.

Derfor kan vi bruge:

**O = 2πr**

Hvis radius er:

**4 cm**

bliver omkredsen:

**O = 2 × 3,14 × 4**

**O = 25,12 cm**

Det betyder også, at det udfoldede rektangel fra cylinderens sideflade har en bredde på:

**25,12 cm**

Læs mere om [omkreds af cirkel](/blog/omkreds-af-cirkel).

Cirklens areal i en cylinder

Grundfladens areal er:

**G = πr²**

Hvis radius er:

**4 cm**

bliver grundfladen:

**G = 3,14 × 4²**

**G = 3,14 × 16**

**G = 50,24 cm²**

Hvis cylinderen har højden:

**10 cm**

bliver rumfanget:

**50,24 × 10 = 502,4 cm³**

Cylinder med diameter

Hvis du får diameteren oplyst, skal du ofte først finde radius.

Eksempel:

**diameter = 12 cm**

Så:

**radius = 12 ÷ 2**

**radius = 6 cm**

Hvis højden er 5 cm:

**V = π × 6² × 5**

**V = 180π**

Med π ≈ 3,14:

**V ≈ 565,2 cm³**

Cylinder og cirkel

En cirkel og en cylinder er tæt forbundet, men de er ikke det samme.

Cirkel

Er en:

**2D-figur**

Den har blandt andet:

- radius - diameter - omkreds - areal

Cylinder

Er en:

**3D-figur**

Den har blandt andet:

- radius - diameter - højde - overfladeareal - rumfang

Man kan tænke på cylinderen som en cirkelform, der strækker sig gennem en højde.

Cylinder og prisme

En cylinder minder om et prisme, fordi begge har:

**to ens parallelle grundflader**

Men der er en vigtig forskel.

Et prisme har polygoner som grundflader.

En cylinder har:

**cirkler**

som grundflader.

Derfor behandles cylinderen normalt som sin egen type rumlige figur i skolegeometri.

Læs mere om [prismer](/blog/prisme).

Cylinder og kegle

En kegle har:

**én cirkelformet grundflade**

og spidser til i et punkt.

En cylinder har:

**to cirkelformede grundflader**

Hvis en cylinder og en kegle har samme radius og samme højde, gælder:

**V_kegle = 1/3 × V_cylinder**

Cylinder:

**V = πr²h**

Kegle:

**V = 1/3 πr²h**

Hvad sker der, hvis højden fordobles?

Rumfanget er:

**V = πr²h**

Hvis radius er uændret og højden fordobles, bliver rumfanget:

**dobbelt så stort**

Eksempel:

**r = 2 cm**

Ved:

**h = 5 cm**

får vi:

**V = 20π**

Ved:

**h = 10 cm**

får vi:

**V = 40π**

Hvad sker der, hvis radius fordobles?

Radius står i anden:

**r²**

Derfor bliver rumfanget fire gange så stort, hvis radius fordobles, mens højden er den samme.

Eksempel:

**2² = 4**

men:

**4² = 16**

Og:

**16 ÷ 4 = 4**

Derfor har radius stor betydning for cylinderens rumfang.

Åben cylinder

Ikke alle cylinderopgaver handler om en lukket cylinder.

Forestil dig et rør uden top og bund.

Så skal de to cirkelformede grundflader ikke med i materialets overfladeareal.

Sidearealet er:

**A = 2πrh**

Hvis cylinderen kun mangler toppen, skal du medregne:

**én cirkel**

plus:

**sidefladen**

Derfor er det vigtigt at læse opgaven grundigt.

Cylinder og liter

Når en cylinder bruges som beholder, kan rumfang nogle gange omregnes til liter.

Husk:

**1 liter = 1.000 cm³**

og:

**1 liter = 1 dm³**

Hvis det indvendige rumfang er:

**2.500 cm³**

svarer det til:

**2,5 liter**

Eksempel med en cylinderformet beholder

En beholder har indvendig:

**radius = 5 cm**

**højde = 20 cm**

Rumfang:

**V = π × 5² × 20**

**V = 500π**

Med π ≈ 3,14:

**V ≈ 1.570 cm³**

Det svarer til cirka:

**1,57 liter**

hvis målene beskriver det indvendige rum præcist.

Typisk fejl: diameter og radius forveksles

Hvis diameteren er:

**10 cm**

er radius:

**5 cm**

Når du bruger:

**V = πr²h**

skal du derfor sætte:

**5**

ind som radius.

Ikke 10.

Typisk fejl: radius bliver ikke sat i anden

Hvis:

**r = 4**

så er:

**r² = 16**

Ikke:

**8**

At sætte et tal i anden betyder:

**4 × 4**

Typisk fejl: forkert enhed

Areal måles eksempelvis i:

**cm²**

Rumfang måles i:

**cm³**

Så:

**overfladeareal → cm²**

**rumfang → cm³**

Typisk fejl: kun én cirkel i overfladearealet

En lukket cylinder har:

**to cirkelformede grundflader**

Derfor er cirklernes samlede areal:

**2πr²**

Derefter lægges sidearealet til:

**2πrh**

Hurtig oversigt over cylinderformler

| Det du vil finde | Formel | |---|---| | Diameter | d = 2r | | Radius | r = d/2 | | Grundfladens areal | G = πr² | | Grundfladens omkreds | O = 2πr | | Rumfang | V = πr²h | | Sideareal | A = 2πrh | | Overfladeareal, lukket cylinder | A = 2πr² + 2πrh |

20 opgaver om cylindere

Brug **π ≈ 3,14**, når det er nødvendigt.

Opgave 1

Hvor mange cirkelformede grundflader har en cylinder?

Opgave 2

Radius er 4 cm. Hvad er diameteren?

Opgave 3

Diameteren er 14 cm. Hvad er radius?

Opgave 4

Radius er 3 cm. Find grundfladens areal.

Opgave 5

Radius er 5 cm. Find grundfladens omkreds.

Opgave 6

Radius er 2 cm og højden 10 cm. Find rumfanget.

Opgave 7

Radius er 4 cm og højden 5 cm. Find rumfanget.

Opgave 8

Diameteren er 10 cm og højden 4 cm. Find radius.

Opgave 9

Brug tallene fra opgave 8 til at finde rumfanget.

Opgave 10

Hvad er formlen for cylinderens rumfang?

Opgave 11

Hvad er formlen for en cirkelformet grundflades areal?

Opgave 12

Hvad er formlen for sidearealet?

Opgave 13

Hvad er formlen for en lukket cylinders samlede overfladeareal?

Opgave 14

Er en cylinder en 2D- eller 3D-figur?

Opgave 15

Hvilken enhed bruges til rumfang, når målene er i cm?

Opgave 16

Hvilken enhed bruges til overfladeareal, når målene er i cm?

Opgave 17

Hvad sker der med rumfanget, hvis højden fordobles og radius er den samme?

Opgave 18

Hvad sker der med rumfanget, hvis radius fordobles og højden er den samme?

Opgave 19

Hvor mange cm³ svarer til 1 liter?

Opgave 20

En cylinder har et indvendigt rumfang på 3.000 cm³. Hvor mange liter svarer det til?

Svar

1. **2** 2. **8 cm** 3. **7 cm** 4. **28,26 cm²** 5. **31,4 cm** 6. **125,6 cm³** 7. **251,2 cm³** 8. **5 cm** 9. **314 cm³** 10. **V = πr²h** 11. **G = πr²** 12. **A = 2πrh** 13. **A = 2πr² + 2πrh** 14. **3D** 15. **cm³** 16. **cm²** 17. **Det fordobles** 18. **Det bliver fire gange så stort** 19. **1.000 cm³** 20. **3 liter**

Lær om cylindere gennem spil

Forestil dig, at barnet skal bygge en energibeholder til en rumstation.

Beholderen skal have:

**radius = 4 felter**

**højde = 10 felter**

Først skal barnet finde grundfladens areal:

**π × 4² = 16π**

Derefter kan barnet finde rumfanget:

**16π × 10 = 160π**

Hvis en anden tank har samme højde, men dobbelt så stor radius, skal barnet vurdere, hvor meget mere energi den kan indeholde.

Svaret er ikke dobbelt så meget.

Fordi radius står i anden, bliver rumfanget:

**4 gange så stort**

På den måde bliver cylinderens egenskaber noget, barnet bruger til at løse et problem.

Geometri i Skillio

Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bruges direkte i spillets udfordringer.

Barnet kan blandt andet arbejde med former, areal, omkreds, rumfang og koordinater, mens du som forælder kan følge udviklingen.

Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.

**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**