**Rumfanget af en cylinder beregnes ved at gange grundfladens areal med cylinderens højde.** Formlen er:
**V = π × r² × h**
hvor:
**V = rumfang**
**r = radius**
**h = højde**
Hvis en cylinder har radius 3 cm og højde 10 cm, bliver rumfanget:
**V = π × 3² × 10**
**V = 90π**
**V ≈ 282,7 cm³**
Her lærer du at beregne rumfang og volumen af en cylinder trin for trin.
Hvad er en cylinder?
En cylinder er en rumlig geometrisk figur.
Den har:
**to cirkelformede grundflader**
og en flade, der forbinder dem.
De to cirkler er lige store og ligger parallelt med hinanden.
Eksempler på ting, der omtrent har cylinderform, er:
- dåser - rør - glas - nogle batterier - cylindriske beholdere
Når vi beregner cylinderens rumfang, finder vi ud af, hvor meget plads der er:
**inde i cylinderen**
Hvad betyder rumfang?
Rumfang fortæller, hvor meget plads en tredimensionel figur fylder.
Det kan eksempelvis måles i:
**cm³**
**dm³**
**m³**
Kubikcentimeter skrives:
**cm³**
Det betyder, at vi arbejder med tre dimensioner.
Et rumfang på:
**1 cm³**
svarer til en lille kube, der måler:
**1 cm × 1 cm × 1 cm**
Rumfang og volumen
Ordene:
**rumfang**
og:
**volumen**
bruges ofte om det samme matematiske begreb.
Derfor kan du både møde:
**rumfang af cylinder**
og:
**volumen af cylinder**
Formlen er den samme:
**V = πr²h**
Formel for rumfang af cylinder
Formlen er:
**V = π × r² × h**
eller kort:
**V = πr²h**
Her er:
**π ≈ 3,14**
**r = radius af den cirkelformede grundflade**
**h = cylinderens højde**
Formlen kan forstås som:
**grundfladens areal × højden**
Hvorfor virker formlen?
Grundfladen er en cirkel.
Arealet af en cirkel er:
**A = πr²**
Hvis cylinderens højde er **h**, kan vi forestille os mange cirkelformede lag oven på hinanden.
Derfor:
**rumfang = grundfladens areal × højde**
Altså:
**V = πr² × h**
som bliver:
**V = πr²h**
Eksempel: radius 3 cm og højde 10 cm
Vi har:
**r = 3 cm**
**h = 10 cm**
Formlen er:
**V = πr²h**
Indsæt tallene:
**V = π × 3² × 10**
Først:
**3² = 9**
Så:
**V = π × 9 × 10**
**V = 90π**
Med π ≈ 3,14:
**V ≈ 282,6 cm³**
Med en mere præcis π-værdi får vi cirka:
**282,7 cm³**
Eksempel: radius 5 cm og højde 8 cm
Radius:
**5 cm**
Højde:
**8 cm**
Formel:
**V = π × 5² × 8**
Først:
**5² = 25**
Så:
**V = π × 25 × 8**
**V = 200π**
Med π ≈ 3,14:
**V ≈ 628 cm³**
Cylinderens rumfang er cirka:
**628 cm³**
Eksempel: radius 2 cm og højde 6 cm
Vi bruger:
**V = πr²h**
Så:
**V = π × 2² × 6**
**V = π × 4 × 6**
**V = 24π**
Med π ≈ 3,14:
**V ≈ 75,36 cm³**
Beregn rumfang med diameter
Nogle gange får du diameteren i stedet for radius.
Så skal du først huske:
**radius = diameter ÷ 2**
Hvis diameteren er:
**10 cm**
er radius:
**10 ÷ 2 = 5 cm**
Hvis højden er:
**12 cm**
bliver rumfanget:
**V = π × 5² × 12**
**V = π × 25 × 12**
**V = 300π**
Med π ≈ 3,14:
**V ≈ 942 cm³**
Diameter er ikke radius
Det er en af de mest almindelige fejl i cylinderopgaver.
Hvis diameteren er:
**8 cm**
må du ikke sætte 8 ind som radius.
Radius er:
**8 ÷ 2 = 4 cm**
Formlen bliver derfor:
**V = π × 4² × h**
ikke:
**V = π × 8² × h**
Læs mere om [diameter](/blog/diameter) og [radius](/blog/radius).
Rumfang med grundfladens areal
Nogle gange får du allerede oplyst arealet af grundfladen.
Så behøver du ikke beregne πr² igen.
Hvis:
**grundfladens areal = 20 cm²**
og:
**højden = 7 cm**
så:
**V = 20 × 7**
**V = 140 cm³**
Det følger den generelle regel:
**rumfang = grundflade × højde**
Find højden ud fra rumfang
Vi kan også bruge formlen baglæns.
Vi starter med:
**V = πr²h**
Hvis vi vil finde højden:
**h = V / (πr²)**
Eksempel
En cylinder har:
**V = 314 cm³**
**r = 5 cm**
Brug π ≈ 3,14.
Så:
**h = 314 / (3,14 × 5²)**
**h = 314 / (3,14 × 25)**
**h = 314 / 78,5**
**h = 4 cm**
Cylinderens højde er:
**4 cm**
Find radius ud fra rumfang
Vi kan også finde radius.
Fra:
**V = πr²h**
får vi:
**r² = V / (πh)**
og derefter:
**r = √(V / (πh))**
Eksempel
En cylinder har:
**V = 314 cm³**
**h = 4 cm**
Så:
**r = √(314 / (3,14 × 4))**
**r = √(314 / 12,56)**
**r = √25**
**r = 5 cm**
Radius er:
**5 cm**
Rumfang og areal er ikke det samme
Areal måler en flades størrelse.
Rumfang måler pladsen i en tredimensionel figur.
Derfor kan areal eksempelvis måles i:
**cm²**
mens rumfang måles i:
**cm³**
For en cylinders grundflade bruger vi:
**A = πr²**
For hele cylinderens rumfang bruger vi:
**V = πr²h**
Læs mere om [areal af en cirkel](/blog/areal-af-en-cirkel).
Cylinderens grundflade
En cylinder har to cirkelformede ender.
Når vi beregner rumfanget, behøver vi kun arealet af én af dem.
Hvorfor?
Fordi vi bruger den ene cirkel som:
**grundflade**
og ganger dens areal med afstanden til den anden cirkel:
**højden**
Det giver cylinderens rumfang.
Eksempel med en dåse
Forestil dig en cylinderformet dåse.
Radius er:
**4 cm**
Højden er:
**12 cm**
Rumfanget bliver:
**V = π × 4² × 12**
**V = π × 16 × 12**
**V = 192π**
Med π ≈ 3,14:
**V ≈ 602,88 cm³**
Dåsens geometriske rumfang er altså cirka:
**603 cm³**
Fra cm³ til liter
En vigtig sammenhæng er:
**1.000 cm³ = 1 liter**
Det betyder, at en cylinder med et indvendigt rumfang på:
**2.000 cm³**
svarer til:
**2 liter**
Og:
**500 cm³**
svarer til:
**0,5 liter**
Ved virkelige beholdere kan materialetykkelse og konstruktion dog betyde, at det udvendige geometriske rumfang ikke er det samme som den faktiske kapacitet.
Fra dm³ til liter
En anden nyttig sammenhæng er:
**1 dm³ = 1 liter**
Hvis en cylinder har rumfang:
**3 dm³**
svarer det derfor til:
**3 liter**
Hvad sker der, hvis højden fordobles?
Forestil dig en cylinder med:
**V = πr²h**
Hvis radius er den samme, men højden bliver dobbelt så stor, bliver rumfanget også:
**dobbelt så stort**
Eksempel:
En cylinder har radius 3 cm.
Ved højden 5 cm:
**V = π × 3² × 5 = 45π**
Ved højden 10 cm:
**V = π × 3² × 10 = 90π**
Rumfanget er blevet fordoblet.
Hvad sker der, hvis radius fordobles?
Her sker noget mere interessant.
Fordi radius står i anden:
**r²**
vil en fordobling af radius gøre grundfladens areal:
**4 gange så stort**
Eksempel:
Radius går fra:
**2 cm**
til:
**4 cm**
Så ændres:
**2² = 4**
til:
**4² = 16**
Det er fire gange så stort.
Hvis højden er uændret, bliver cylinderens rumfang derfor også:
**4 gange så stort**
Eksempel
Cylinder A:
**r = 2 cm**
**h = 10 cm**
Rumfang:
**V = π × 2² × 10 = 40π**
Cylinder B:
**r = 4 cm**
**h = 10 cm**
Rumfang:
**V = π × 4² × 10 = 160π**
Og:
**160π ÷ 40π = 4**
Cylinder B har fire gange så stort rumfang.
Hvad hvis både radius og højde fordobles?
Hvis radius fordobles, bliver rumfanget:
**4 gange så stort**
Hvis højden samtidig fordobles, ganger vi yderligere med:
**2**
Derfor bliver rumfanget:
**4 × 2 = 8 gange så stort**
Det viser, hvorfor ændringer i radius kan have stor betydning.
Cylinder og prisme
En cylinder minder på nogle måder om et prisme.
Ved begge figurer kan rumfang findes som:
**grundfladens areal × højde**
Forskellen er blandt andet formen på grundfladen.
En cylinder har en:
**cirkelformet grundflade**
Mens et prisme har en:
**polygon som grundflade**
Eksempelvis kan et trekantet prisme have en trekant som grundflade.
Cylinder og kegle
En cylinder og en kegle kan have samme radius og samme højde.
Hvis de gør det, er keglen kun:
**1/3**
af cylinderens rumfang.
Cylinder:
**V = πr²h**
Kegle:
**V = 1/3 × πr²h**
Det er en vigtig sammenhæng, når man senere arbejder videre med rumlige figurer.
Typisk fejl: at glemme at sætte radius i anden
Formlen er:
**V = πr²h**
Ikke:
**V = πrh**
Hvis radius er 4:
**r² = 4² = 16**
Det skal altså være:
**π × 16 × h**
Typisk fejl: at sætte diameter ind som radius
Hvis diameteren er:
**12 cm**
er radius:
**6 cm**
Du skal derfor bruge:
**6²**
i formlen.
Ikke:
**12²**
Typisk fejl: at skrive cm²
Cylinderens rumfang er tredimensionelt.
Derfor skal svaret eksempelvis være:
**250 cm³**
Ikke:
**250 cm²**
Husk:
**areal → cm²**
**rumfang → cm³**
Typisk fejl: forskellige enheder
Hvis radius er angivet i centimeter og højden i meter, bør du først omregne, så målene bruger samme længdeenhed.
Eksempel:
**r = 5 cm**
**h = 0,2 m**
Da:
**0,2 m = 20 cm**
kan du beregne med:
**r = 5 cm**
**h = 20 cm**
Så bliver resultatet i:
**cm³**
Hurtig huskeregel
For en cylinder:
**1. Find radius**
**2. Beregn r²**
**3. Gang med π**
**4. Gang med højden**
Altså:
**V = πr²h**
20 opgaver om rumfang af cylinder
Brug **π ≈ 3,14**, medmindre andet er angivet.
Opgave 1
Radius er 2 cm og højden 5 cm. Find rumfanget.
Opgave 2
Radius er 3 cm og højden 4 cm. Find rumfanget.
Opgave 3
Radius er 5 cm og højden 10 cm. Find rumfanget.
Opgave 4
Radius er 1 cm og højden 10 cm. Find rumfanget.
Opgave 5
Diameteren er 8 cm og højden 5 cm. Find radius.
Opgave 6
Brug oplysningerne fra opgave 5 til at finde rumfanget.
Opgave 7
Diameteren er 10 cm og højden 4 cm. Find radius.
Opgave 8
Brug oplysningerne fra opgave 7 til at finde rumfanget.
Opgave 9
Grundfladens areal er 30 cm², og højden er 5 cm. Find rumfanget.
Opgave 10
Grundfladens areal er 12 cm², og højden er 8 cm. Find rumfanget.
Opgave 11
Hvad er formlen for rumfang af en cylinder?
Opgave 12
Hvad betyder r i formlen?
Opgave 13
Hvad betyder h i formlen?
Opgave 14
Skal rumfang i centimeter skrives som cm, cm² eller cm³?
Opgave 15
Hvad sker der med rumfanget, hvis højden fordobles, mens radius er uændret?
Opgave 16
Hvad sker der med rumfanget, hvis radius fordobles, mens højden er uændret?
Opgave 17
Hvor mange cm³ er 1 liter?
Opgave 18
Hvor mange liter er 3.000 cm³?
Opgave 19
Hvor mange liter er 2 dm³?
Opgave 20
En cylinder har rumfang 314 cm³ og radius 5 cm. Hvad er højden?
Svar
1. **62,8 cm³** 2. **113,04 cm³** 3. **785 cm³** 4. **31,4 cm³** 5. **4 cm** 6. **251,2 cm³** 7. **5 cm** 8. **314 cm³** 9. **150 cm³** 10. **96 cm³** 11. **V = πr²h** 12. **Radius** 13. **Højde** 14. **cm³** 15. **Det fordobles** 16. **Det bliver 4 gange så stort** 17. **1.000 cm³** 18. **3 liter** 19. **2 liter** 20. **4 cm**
Lær rumfang gennem spil
Forestil dig, at barnet skal fylde en magisk energitank.
Tanken har form som en cylinder med:
**radius = 3 felter**
**højde = 8 felter**
For at vide, hvor meget energi tanken kan indeholde, skal barnet beregne:
**V = π × 3² × 8**
Først:
**3² = 9**
Så:
**V = 72π**
Det er cirka:
**226,2 kubikenheder**
I stedet for at få spørgsmålet løsrevet fra en sammenhæng bliver beregningen noget, barnet skal bruge for at løse missionen.
Matematik i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bruges som en del af spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, areal, rumfang, koordinater og regning, mens du som forælder kan følge udviklingen.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**