En **funktionsforskrift er en matematisk regel, der fortæller, hvordan en værdi bliver omdannet til en anden værdi**.
Et simpelt eksempel er:
**f(x) = 2x + 3**
Hvis:
**x = 4**
indsætter vi 4 i stedet for x:
**f(4) = 2 × 4 + 3**
**f(4) = 8 + 3**
**f(4) = 11**
Når x er 4, er funktionsværdien altså:
**11**
Hvad er en funktion?
En funktion kan tænkes som en maskine.
Du sender et tal ind.
Maskinen følger en bestemt regel.
Derefter kommer et nyt tal ud.
Eksempel:
**x → × 2 → + 3 → f(x)**
Hvis du sender:
**5**
ind i maskinen:
**5 × 2 + 3 = 13**
Derfor:
**f(5) = 13**
Hvad betyder f(x)?
Udtrykket:
**f(x)**
læses ofte:
**"f af x"**
Det betyder værdien af funktionen, når inputtet er x.
Hvis:
**f(x) = x + 4**
og:
**x = 3**
så:
**f(3) = 3 + 4**
=
**7**
Hvad betyder x?
I en funktion er x typisk den værdi, vi putter ind.
Den kaldes blandt andet den:
**uafhængige variabel**
Hvis:
**f(x) = 3x**
kan vi vælge forskellige værdier af x.
For:
**x = 1**
får vi:
**f(1) = 3**
For:
**x = 2**
får vi:
**f(2) = 6**
For:
**x = 3**
får vi:
**f(3) = 9**
En funktion som en talmaskine
Forestil dig denne regel:
**Gang med 2**
Hvis vi sender tallene:
**1, 2, 3, 4 og 5**
gennem maskinen, får vi:
| x | f(x) = 2x | |---:|---:| | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 | | 4 | 8 | | 5 | 10 |
Det er en funktion.
Hvert input får et bestemt output.
Eksempel: f(x) = x + 5
Funktionen siger:
**Tag x og læg 5 til.**
Hvis:
**x = 2**
så:
**f(2) = 2 + 5 = 7**
Hvis:
**x = 10**
så:
**f(10) = 10 + 5 = 15**
Eksempel: f(x) = 3x
Her skal x ganges med:
**3**
Hvis:
**x = 4**
så:
**f(4) = 3 × 4**
=
**12**
Hvis:
**x = 7**
så:
**f(7) = 3 × 7**
=
**21**
Eksempel: f(x) = 2x + 1
Her skal vi gøre to ting.
Først:
**gang x med 2**
Derefter:
**læg 1 til**
Hvis:
**x = 5**
får vi:
**f(5) = 2 × 5 + 1**
**f(5) = 10 + 1**
=
**11**
Sådan beregner du en funktionsværdi
Forestil dig:
**f(x) = 4x + 2**
Du skal finde:
**f(3)**
Trin 1
Erstat x med 3:
**f(3) = 4 × 3 + 2**
Trin 2
Gang:
**4 × 3 = 12**
Trin 3
Læg 2 til:
**12 + 2 = 14**
Derfor:
**f(3) = 14**
Hvad er en funktionsforskrift?
Selve reglen:
**f(x) = 4x + 2**
kaldes funktionsforskriften.
Den fortæller præcis, hvad der skal ske med x.
I dette tilfælde:
1. gang x med 4 2. læg 2 til
Find funktionsforskriften ud fra en tabel
Nogle gange får du ikke reglen.
Du får i stedet en tabel.
| x | f(x) | |---:|---:| | 1 | 3 | | 2 | 5 | | 3 | 7 | | 4 | 9 |
Se på outputtene:
**3, 5, 7, 9**
De stiger med:
**2**
hver gang x stiger med 1.
Prøv:
**f(x) = 2x + 1**
Kontroller x = 1:
**2 × 1 + 1 = 3**
Kontroller x = 4:
**2 × 4 + 1 = 9**
Det passer.
Funktionsforskriften er:
**f(x) = 2x + 1**
Eksempel med en anden tabel
| x | f(x) | |---:|---:| | 1 | 5 | | 2 | 8 | | 3 | 11 | | 4 | 14 |
Outputtet stiger med:
**3**
for hvert trin.
Prøv:
**f(x) = 3x + 2**
For x = 1:
**3 × 1 + 2 = 5**
For x = 4:
**3 × 4 + 2 = 14**
Det passer.
Funktionsforskrift og mønstre
Funktioner hænger tæt sammen med mønstre.
Forestil dig en figur, der vokser sådan:
**Figur 1 = 3 klodser**
**Figur 2 = 5 klodser**
**Figur 3 = 7 klodser**
**Figur 4 = 9 klodser**
Antallet vokser med:
**2 klodser**
hver gang.
Reglen kan skrives:
**f(x) = 2x + 1**
Funktionsforskriften beskriver dermed hele mønsteret.
Hvad betyder y = 2x + 3?
Funktioner kan også skrives:
**y = 2x + 3**
Her svarer y til den værdi, funktionen giver.
Så:
**f(x) = 2x + 3**
og:
**y = 2x + 3**
kan i denne sammenhæng beskrive den samme sammenhæng.
x og y
Hvis:
**y = 2x + 1**
og:
**x = 3**
så:
**y = 2 × 3 + 1**
=
**7**
Vi kan skrive punktet som:
**(3, 7)**
Det kan placeres i et koordinatsystem.
Funktioner og koordinatsystem
En funktion kan vises som punkter i et koordinatsystem.
Hvis:
**f(x) = 2x**
får vi eksempelvis:
| x | y | |---:|---:| | 0 | 0 | | 1 | 2 | | 2 | 4 | | 3 | 6 |
Punkterne bliver:
**(0,0)**
**(1,2)**
**(2,4)**
**(3,6)**
Hvis de tegnes ind, ligger de på en ret linje.
Lineære funktioner
En funktion som:
**f(x) = 2x + 3**
kaldes en:
**lineær funktion**
En lineær funktion kan typisk skrives:
**f(x) = ax + b**
Her fortæller:
**a**
hvor meget funktionsværdien ændrer sig, når x vokser med 1.
Og:
**b**
er funktionsværdien, når:
**x = 0**
Hvad betyder a?
Se:
**f(x) = 3x + 2**
Her er:
**a = 3**
Når x vokser med 1, vokser funktionsværdien med:
**3**
Eksempel:
**5 → 8 → 11 → 14**
Forskellen er hele tiden:
**3**
Hvad betyder b?
I:
**f(x) = 3x + 2**
er:
**b = 2**
Sæt:
**x = 0**
Så:
**f(0) = 3 × 0 + 2**
=
**2**
Derfor er b den værdi, funktionen har ved x = 0.
Funktionsforskrift og ligninger
Funktioner og ligninger hænger tæt sammen.
Forestil dig:
**f(x) = 2x + 3**
Vi vil finde den x-værdi, hvor:
**f(x) = 11**
Så kan vi skrive:
**2x + 3 = 11**
Træk 3 fra:
**2x = 8**
Divider med 2:
**x = 4**
Læs mere i vores guide til [ligninger](/blog/ligninger).
Funktioner i hverdagen
Funktioner kan beskrive mange sammenhænge.
Eksempel:
En aktivitet koster:
**20 kr. i startpris**
plus:
**5 kr. pr. runde**
Hvis x er antallet af runder, kan prisen beskrives som:
**f(x) = 5x + 20**
Ved 4 runder:
**f(4) = 5 × 4 + 20**
=
**40 kr.**
Eksempel med point
I et spil får du:
**10 point pr. krystal**
Hvis x er antallet af krystaller:
**f(x) = 10x**
Hvis du samler:
**7 krystaller**
får du:
**f(7) = 70 point**
Eksempel med startbonus
Du starter med:
**50 point**
og får:
**10 point pr. skattekiste**
Reglen bliver:
**f(x) = 10x + 50**
Hvis du finder 4 kister:
**f(4) = 10 × 4 + 50**
=
**90 point**
Typisk fejl: Man glemmer at erstatte alle x'er
Hvis:
**f(x) = 2x + 4**
og du skal finde:
**f(3)**
skal x erstattes med 3:
**2 × 3 + 4**
=
**10**
Typisk fejl: 2x betyder 2 + x
Det gør det ikke.
**2x**
betyder:
**2 × x**
Så hvis:
**x = 5**
er:
**2x = 10**
Typisk fejl: Man glemmer regnearternes rækkefølge
I:
**2 × 4 + 3**
skal multiplikationen udføres før additionen.
Derfor:
**8 + 3 = 11**
20 opgaver om funktionsforskrifter
Opgave 1
Hvis:
**f(x) = x + 2**
hvad er f(3)?
Opgave 2
**f(x) = x + 5**
Find f(4).
Opgave 3
**f(x) = 2x**
Find f(6).
Opgave 4
**f(x) = 3x**
Find f(5).
Opgave 5
**f(x) = 2x + 1**
Find f(4).
Opgave 6
**f(x) = 2x + 3**
Find f(5).
Opgave 7
**f(x) = 4x + 2**
Find f(3).
Opgave 8
**f(x) = 5x - 2**
Find f(2).
Opgave 9
**f(x) = 10x**
Find f(7).
Opgave 10
**f(x) = x - 4**
Find f(10).
Opgave 11
Hvis f(x) = 3x + 1, hvad er f(0)?
Opgave 12
Hvis f(x) = 5x + 4, hvad er f(0)?
Opgave 13
En funktion giver værdierne 3, 5, 7, 9 for x = 1, 2, 3, 4.
Hvilken regel passer?
Opgave 14
En funktion giver 4, 7, 10, 13.
Hvor meget stiger outputtet hver gang?
Opgave 15
Hvis:
**y = 2x**
og x = 8, hvad er y?
Opgave 16
Hvis:
**y = 3x + 2**
og x = 2, hvad er y?
Opgave 17
Hvad betyder 4x?
Opgave 18
Hvad er a i:
**f(x) = 5x + 3**
Opgave 19
Hvad er b i:
**f(x) = 5x + 3**
Opgave 20
Du får 10 point pr. stjerne og starter med 20 point.
Skriv en funktionsforskrift.
Svar på opgaverne
1. **5** 2. **9** 3. **12** 4. **15** 5. **9** 6. **13** 7. **14** 8. **8** 9. **70** 10. **6** 11. **1** 12. **4** 13. **f(x) = 2x + 1** 14. **3** 15. **16** 16. **8** 17. **4 × x** 18. **5** 19. **3** 20. **f(x) = 10x + 20**
Sådan lærer børn funktioner lettere
Start med en fysisk eller tænkt:
**talmaskine**
Skriv eksempelvis:
**IND → × 2 → + 1 → UD**
Send:
**1**
igennem.
Resultat:
**3**
Send:
**2**
igennem.
Resultat:
**5**
Send:
**3**
igennem.
Resultat:
**7**
Først når barnet har forstået reglen, kan du skrive:
**f(x) = 2x + 1**
Så bliver symbolerne en kort måde at beskrive noget, barnet allerede forstår.
Funktioner gennem spil
Forestil dig en maskine i et rumskib.
Barnet putter energikrystaller ind.
Hver krystal giver:
**5 energi**
og maskinen har allerede:
**10 energi**
Reglen er:
**f(x) = 5x + 10**
Barnet skal bruge:
**30 energi**
for at åbne næste område.
Hvor mange krystaller skal bruges?
**5x + 10 = 30**
**5x = 20**
**x = 4**
Barnet indsætter fire krystaller, og døren åbner.
Funktioner og ligninger bliver dermed en del af selve spilproblemet.
Det er den type matematik, vi arbejder med i Skillio.
Læs mere om matematik
Læs også:
- [Ligninger](/blog/ligninger) - [Kvadrattal](/blog/kvadrattal) - [Matematikopgaver for børn](/blog/matematikopgaver-for-boern) - [Matematik for børn](/blog/matematik-for-born)
Træn matematik gennem Skillio
Skillio er et online spilunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af selve spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med mønstre, talforståelse, ligninger og problemløsning.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der kan være brug for mere træning.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**