**Kongruente trekanter er trekanter, der har præcis samme form og samme størrelse.**
Hvis to trekanter er kongruente, er deres tilsvarende:
- sider lige lange - vinkler lige store
Trekanterne må gerne være drejet, flyttet eller spejlet.
Så længe form og størrelse er den samme, er de stadig:
**kongruente**
Hvad betyder kongruent?
I geometri betyder kongruent:
**samme form og samme størrelse**
Forestil dig, at du tegner en trekant på et stykke papir og klipper den ud.
Hvis den kan lægges præcis oven på en anden trekant, så alle hjørner og sider passer sammen, er de to trekanter:
**kongruente**
Eksempel på kongruente trekanter
Trekant A har siderne:
**3 cm, 4 cm og 5 cm**
Trekant B har også siderne:
**3 cm, 4 cm og 5 cm**
Trekanterne har samme sidelængder.
Derfor kan de være kongruente.
Hvis deres tilsvarende vinkler også passer sammen, har de præcis samme form og størrelse.
Kongruent betyder ikke, at figurerne skal vende ens
To kongruente trekanter kan se forskellige ud på papiret.
Den ene kan være:
**drejet**
Den anden kan være:
**spejlet**
Eller den kan bare være:
**flyttet**
Det ændrer ikke trekantens størrelse eller form.
Derfor kan trekanterne stadig være kongruente.
Eksempel med en drejet trekant
Forestil dig en trekant med siderne:
**4 cm, 4 cm og 6 cm**
Lav en kopi og drej den 90°.
Den nye trekant har stadig siderne:
**4 cm, 4 cm og 6 cm**
Den er derfor kongruent med den oprindelige trekant.
Tilsvarende sider
Når vi sammenligner kongruente trekanter, skal vi finde de sider, der svarer til hinanden.
Hvis trekant ABC er kongruent med trekant DEF, kan det eksempelvis betyde:
**AB ↔ DE**
**BC ↔ EF**
**CA ↔ FD**
De tilsvarende sider har:
**samme længde**
Tilsvarende vinkler
Det samme gælder vinklerne.
Hvis:
**A ↔ D**
**B ↔ E**
**C ↔ F**
så gælder:
**vinkel A = vinkel D**
**vinkel B = vinkel E**
**vinkel C = vinkel F**
Kongruente trekanter og ligedannede trekanter
Det er vigtigt at kende forskellen.
Kongruente trekanter
Har:
**samme form**
og:
**samme størrelse**
Ligedannede trekanter
Har:
**samme form**
men kan have:
**forskellig størrelse**
Eksempel:
Trekanterne:
**3-4-5**
og:
**6-8-10**
er ligedannede.
Men de er:
**ikke kongruente**
fordi den anden trekant er dobbelt så stor.
Læs mere om [ligedannede trekanter](/blog/ligedannede-trekanter).
Er alle kongruente trekanter ligedannede?
Ja.
Hvis to trekanter har præcis samme form og størrelse, har de selvfølgelig også samme form.
Derfor er kongruente trekanter også:
**ligedannede**
Men det modsatte gælder ikke nødvendigvis.
Ligedannede trekanter kan have forskellig størrelse.
Hvordan ved man, om to trekanter er kongruente?
Man behøver ikke altid måle alle sider og alle vinkler.
Der findes nogle regler, som kan bruges til at afgøre, om to trekanter må være kongruente.
Tre af de vigtigste idéer er:
- side-side-side - side-vinkel-side - vinkel-side-vinkel
Side-side-side
Hvis alle tre sider i den ene trekant har samme længde som de tilsvarende tre sider i den anden trekant, er trekanterne kongruente.
Eksempel:
Trekant A:
**5 cm, 6 cm og 7 cm**
Trekant B:
**5 cm, 6 cm og 7 cm**
De tre sidelængder bestemmer trekantens form og størrelse.
Trekanterne er derfor kongruente.
Eksempel: Er trekanterne kongruente?
Trekant 1:
**3 cm, 5 cm og 6 cm**
Trekant 2:
**3 cm, 5 cm og 6 cm**
Alle tre tilsvarende sider er lige lange.
Derfor er trekanterne:
**kongruente**
Side-vinkel-side
To trekanter er også kongruente, hvis:
- to tilsvarende sider er lige lange - vinklen mellem de to sider er lige stor
Eksempel:
Begge trekanter har:
**side = 5 cm**
**vinkel = 60°**
**side = 7 cm**
Hvis vinklen på 60° ligger mellem de to kendte sider i begge trekanter, bestemmer oplysningerne den samme trekant.
Vinkel-side-vinkel
Hvis to tilsvarende vinkler og siden mellem dem er ens, kan trekanterne også bestemmes entydigt.
Eksempel:
Begge trekanter har:
**vinkel = 50°**
**side = 6 cm**
**vinkel = 70°**
Trekanterne får samme form og størrelse.
Hvorfor er tre vinkler ikke nok?
Forestil dig to trekanter med vinklerne:
**40°, 60° og 80°**
De kan have samme form, men den ene kan være meget større end den anden.
Tre vinkler fortæller derfor formen.
Men de fortæller ikke nødvendigvis:
**størrelsen**
Trekanterne kan altså være ligedannede uden at være kongruente.
Eksempel
Trekant A har vinkler:
**30°, 60° og 90°**
Trekant B har også:
**30°, 60° og 90°**
Det betyder ikke automatisk, at de er kongruente.
Trekant B kan eksempelvis være:
**3 gange større**
De vil så være ligedannede, men ikke kongruente.
Kongruens og spejling
Forestil dig en trekant.
Lav derefter et spejlbillede af den.
Sidelængderne ændrer sig ikke.
Vinklerne ændrer sig heller ikke.
Derfor er spejlbilledet:
**kongruent**
med den oprindelige trekant.
Kongruens og rotation
Hvis du drejer en trekant:
**90°**
**180°**
eller en anden vinkel, ændrer du ikke dens form eller størrelse.
Den drejede figur er derfor kongruent med den oprindelige.
Kongruens og parallelforskydning
Hvis du flytter en trekant:
**5 felter mod højre**
og:
**3 felter op**
ændrer trekanten ikke form eller størrelse.
Den nye trekant er derfor kongruent med den oprindelige.
Læs mere om [parallelforskydning](/blog/parallelforskydning).
Kongruente figurer
Kongruens gælder ikke kun trekanter.
To:
**kvadrater**
kan være kongruente.
To:
**rektangler**
kan være kongruente.
To:
**romber**
kan være kongruente.
Kravet er stadig:
**samme form og samme størrelse**
Eksempel med kvadrater
Kvadrat A har sidelængden:
**4 cm**
Kvadrat B har sidelængden:
**4 cm**
De er kongruente.
Et tredje kvadrat med sidelængden:
**8 cm**
har samme form, men ikke samme størrelse.
Det er derfor ikke kongruent med de to første.
Kongruente trekanter og areal
Kongruente trekanter har samme:
**areal**
Hvorfor?
Fordi de har præcis samme størrelse.
Hvis trekant A har arealet:
**24 cm²**
og trekant B er kongruent med A, har B også arealet:
**24 cm²**
Kongruente trekanter og omkreds
De har også samme:
**omkreds**
Hvis siderne er:
**3 cm, 4 cm og 5 cm**
er omkredsen:
**3 + 4 + 5 = 12 cm**
En kongruent trekant har de samme sidelængder og derfor også omkredsen:
**12 cm**
Kongruente trekanter og symmetri
Kongruente figurer optræder ofte i symmetriske mønstre.
Hvis en figur deles langs en symmetriakse, kan de to dele i nogle tilfælde danne kongruente figurer.
Det gør kongruens nyttigt, når man arbejder med:
- mønstre - spejling - konstruktioner - geometri - symmetri
Typisk fejl: Kongruent og ligedannet blandes sammen
Husk:
**kongruent = samme form + samme størrelse**
**ligedannet = samme form, men ikke nødvendigvis samme størrelse**
Det er den vigtigste forskel.
Typisk fejl: Figurerne skal vende samme vej
Nej.
En figur kan:
- drejes - spejles - flyttes
og stadig være kongruent med den oprindelige figur.
Typisk fejl: Samme vinkler betyder kongruent
Ikke nødvendigvis.
Samme vinkler sikrer samme form.
Men figurerne kan have forskellig størrelse.
Derfor skal der også være information, der fastlægger størrelsen.
20 opgaver om kongruente trekanter
Opgave 1
Hvad betyder kongruent?
Opgave 2
To trekanter har siderne 3, 4 og 5 cm.
Er de kongruente?
Opgave 3
Trekant A har siderne 3, 4 og 5.
Trekant B har siderne 6, 8 og 10.
Er de kongruente?
Opgave 4
Er trekanterne i opgave 3 ligedannede?
Opgave 5
Kan kongruente trekanter være drejet forskelligt?
Opgave 6
Kan kongruente trekanter være spejlet?
Opgave 7
Har kongruente trekanter samme areal?
Opgave 8
Har kongruente trekanter samme omkreds?
Opgave 9
Har kongruente trekanter samme vinkler?
Opgave 10
Har kongruente trekanter samme sidelængder?
Opgave 11
To trekanter har vinklerne 40°, 60° og 80°.
Ved du med sikkerhed, at de er kongruente?
Opgave 12
To trekanter har siderne 5, 6 og 7 cm.
Er de kongruente?
Opgave 13
En trekant flyttes 5 felter mod højre.
Er den nye trekant kongruent med den gamle?
Opgave 14
En trekant drejes 90°.
Ændrer dens størrelse sig?
Opgave 15
Et kvadrat har siden 5 cm. Et andet kvadrat har siden 5 cm.
Er de kongruente?
Opgave 16
Et kvadrat har siden 5 cm. Et andet har siden 10 cm.
Er de kongruente?
Opgave 17
En trekant har arealet 18 cm². En kongruent trekant har hvilket areal?
Opgave 18
En trekant har omkredsen 20 cm. Hvad er omkredsen af en kongruent trekant?
Opgave 19
Er alle kongruente trekanter ligedannede?
Opgave 20
Er alle ligedannede trekanter kongruente?
Svar på opgaverne
1. **Samme form og samme størrelse** 2. **Ja** 3. **Nej** 4. **Ja** 5. **Ja** 6. **Ja** 7. **Ja** 8. **Ja** 9. **Ja** 10. **Ja** 11. **Nej** 12. **Ja** 13. **Ja** 14. **Nej** 15. **Ja** 16. **Nej** 17. **18 cm²** 18. **20 cm** 19. **Ja** 20. **Nej**
Sådan lærer børn kongruens lettere
Tegn en trekant på et stykke papir og klip den ud.
Tegn derefter rundt om den flere gange.
Drej papirtrekanten.
Spejl den.
Flyt den.
Barnet kan nu lægge den oven på de nye trekanter og se:
**De passer stadig præcis sammen.**
Derefter kan I tegne en større trekant med samme form.
Den ligner den oprindelige, men papirtrekanten passer ikke ovenpå.
Nu bliver forskellen tydelig:
**kongruent = passer præcis**
**ligedannet = samme form**
Kongruente trekanter gennem spil
Forestil dig en gammel tempeldør med et trekantet hul.
Barnet har tre krystaller:
**Krystal A:** samme form og størrelse som hullet
**Krystal B:** samme form, men dobbelt så stor
**Krystal C:** samme størrelse, men en anden form
Kun én krystal er:
**kongruent**
med hullet.
Barnet vælger A.
Krystallen passer præcis, og døren åbner.
Begrebet kongruens bliver dermed noget, barnet bruger i spillet.
Det er den type matematik, vi arbejder med i Skillio.
Læs mere om geometri
Læs også:
- [Ligedannede trekanter](/blog/ligedannede-trekanter) - [Trekanter – typer, vinkler og egenskaber](/blog/typer-af-trekanter) - [Parallelforskydning](/blog/parallelforskydning) - [Geometri for børn](/blog/geometri-for-boern) - [Vinkler for børn](/blog/vinkler-for-boern)
Træn matematik gennem Skillio
Skillio er et online spilunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af selve spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, former, vinkler, koordinater og problemløsning.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der kan være brug for mere træning.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**