**Ligedannede trekanter har samme form, men behøver ikke have samme størrelse.**
Det betyder, at:
- de tilsvarende vinkler er lige store - de tilsvarende sider har samme forhold
Hvis én trekant eksempelvis har siderne:
**3, 4 og 5**
og en anden har:
**6, 8 og 10**
er trekanterne ligedannede.
Den anden trekant er nemlig præcis:
**2 gange så stor**
på alle sider.
Hvad betyder ligedannede trekanter?
To trekanter er ligedannede, når de har samme form.
Den ene trekant kan være større eller mindre end den anden.
Forestil dig en trekant, som bliver forstørret på en kopimaskine.
Formen ændrer sig ikke.
Alle sidelængder bliver bare ganget med den samme faktor.
Det er idéen bag ligedannede trekanter.
Eksempel på ligedannede trekanter
Trekant A har siderne:
**3 cm, 4 cm og 5 cm**
Trekant B har siderne:
**6 cm, 8 cm og 10 cm**
Sammenlign siderne:
**6 ÷ 3 = 2**
**8 ÷ 4 = 2**
**10 ÷ 5 = 2**
Alle sider i trekant B er:
**2 gange så lange**
som de tilsvarende sider i trekant A.
Derfor er trekanterne ligedannede.
Ligedannet betyder ikke lige stor
Det er vigtigt at kende forskellen.
To ligedannede trekanter kan have forskellige størrelser.
Eksempel:
Trekant A:
**3, 4 og 5**
Trekant B:
**9, 12 og 15**
De er ikke lige store.
Men alle sider i trekant B er:
**3 gange så lange**
Derfor har de samme form og er ligedannede.
Hvad er tilsvarende sider?
Tilsvarende sider er de sider, der har samme placering i de to trekanter.
Hvis:
**3 cm ↔ 6 cm**
**4 cm ↔ 8 cm**
**5 cm ↔ 10 cm**
er de tilsvarende sider parret korrekt.
Forholdet er:
**2**
hele vejen.
Det er afgørende, at man sammenligner de rigtige sider.
Hvad er tilsvarende vinkler?
Når to trekanter er ligedannede, er deres tilsvarende vinkler:
**lige store**
Hvis trekant A har vinklerne:
**40°, 60° og 80°**
og trekant B også har:
**40°, 60° og 80°**
har de samme vinkelstruktur.
Det er en vigtig del af ligedannethed.
Læs mere om [trekanter og vinkler](/blog/typer-af-trekanter).
Hvad er en skalafaktor?
Skalafaktoren fortæller, hvor meget en figur er blevet:
**forstørret eller formindsket**
Hvis en side går fra:
**4 cm**
til:
**12 cm**
er skalafaktoren:
**12 ÷ 4 = 3**
Den nye trekant er altså:
**3 gange så stor i sidelængderne**
Formel for skalafaktor
Du kan beregne:
**skalafaktor = ny sidelængde ÷ oprindelig sidelængde**
Eksempel:
Oprindelig side:
**5 cm**
Ny side:
**20 cm**
Beregn:
**20 ÷ 5 = 4**
Skalafaktoren er:
**4**
Find en ukendt side
Ligedannede trekanter er især nyttige, når en sidelængde mangler.
Trekant A har siderne:
**3 cm og 5 cm**
De tilsvarende sider i trekant B er:
**6 cm og x**
Vi kan først finde skalafaktoren:
**6 ÷ 3 = 2**
Derfor skal den anden side også ganges med 2:
**5 × 2 = 10**
Så:
**x = 10 cm**
Eksempel: Find den manglende side
Lille trekant:
**4 cm → 6 cm**
Stor trekant:
**8 cm → x**
Først finder vi skalafaktoren:
**8 ÷ 4 = 2**
Derfor:
**x = 6 × 2**
=
**12 cm**
Eksempel med en formindskelse
En stor trekant har en side på:
**12 cm**
En tilsvarende side i den lille trekant er:
**4 cm**
Skalafaktoren fra stor til lille er:
**4 ÷ 12 = 1/3**
Hvis en anden side i den store trekant er:
**9 cm**
bliver den tilsvarende side:
**9 × 1/3 = 3 cm**
Forhold mellem siderne
Man kan også skrive ligedannethed som forhold.
Hvis:
**3 ↔ 6**
og:
**5 ↔ 10**
har vi:
**3/6 = 5/10**
Begge brøker er:
**1/2**
Det viser, at siderne har samme forhold.
Læs mere om [brøker](/blog/hvad-er-en-broek).
Brug en ligning til at finde siden
Forestil dig:
**3/6 = 5/x**
Da 6 er dobbelt så stort som 3, skal x være dobbelt så stort som 5.
Derfor:
**x = 10**
Man kan også arbejde mere formelt med ligningen, når opgaverne bliver sværere.
Læs mere om [ligninger](/blog/ligninger).
Hvordan ved man, om trekanter er ligedannede?
Der findes flere måder at afgøre det på.
En meget enkel situation er, når alle tilsvarende sider har samme forhold.
Eksempel:
Trekant A:
**2, 3 og 4**
Trekant B:
**4, 6 og 8**
Kontroller:
**4 ÷ 2 = 2**
**6 ÷ 3 = 2**
**8 ÷ 4 = 2**
Forholdet er det samme.
Trekanterne er derfor ligedannede.
Vinkel-vinkel-reglen
Hvis to vinkler i den ene trekant er lige store med to vinkler i den anden trekant, er trekanterne ligedannede.
Hvorfor er to vinkler nok?
Fordi vinklerne i en trekant tilsammen er:
**180°**
Hvis to vinkler er kendt, er den tredje derfor også bestemt.
Eksempel:
Begge trekanter har vinkler:
**50° og 60°**
Den sidste vinkel må være:
**180° - 50° - 60° = 70°**
Begge trekanter har derfor vinklerne:
**50°, 60° og 70°**
Side-side-side
Hvis de tre par af tilsvarende sider har samme forhold, er trekanterne ligedannede.
Eksempel:
**3, 4, 5**
og:
**9, 12, 15**
Kontroller:
**9/3 = 3**
**12/4 = 3**
**15/5 = 3**
Alle forhold er 3.
Derfor er trekanterne ligedannede.
Er 3-4-5 og 6-8-10 ligedannede?
Ja.
Beregn:
**6 ÷ 3 = 2**
**8 ÷ 4 = 2**
**10 ÷ 5 = 2**
Alle sider er blevet ganget med:
**2**
Derfor er trekanterne ligedannede.
Er 3-4-5 og 6-8-11 ligedannede?
Nej.
De første to forhold er:
**6 ÷ 3 = 2**
**8 ÷ 4 = 2**
Men:
**11 ÷ 5 = 2,2**
Forholdet er ikke det samme for alle sider.
Derfor er trekanterne ikke ligedannede.
Ligedannede trekanter og Pythagoras
Retvinklede trekanter kan også være ligedannede.
Den klassiske:
**3-4-5-trekant**
er ligedannet med:
**6-8-10**
og:
**9-12-15**
De har alle samme form.
Læs mere om [Pythagoras](/blog/pythagoras).
Ligedannede trekanter og målestoksforhold
Ligedannethed hænger tæt sammen med målestoksforhold.
Hvis en tegning bliver forstørret, skal alle længder ændres med den samme faktor, hvis formen skal bevares.
Det er præcis samme grundidé som ved ligedannede trekanter.
Læs vores guide til [målestoksforhold](/blog/maalestoksforhold).
Ligedannede trekanter i virkeligheden
Ligedannede trekanter kan blandt andet bruges til:
- kort og tegninger - modeller - byggeri - arkitektur - opmåling - skygger - afstande - forstørrelser
Man kan eksempelvis bruge en mindre trekant til at beregne en længde i en større trekant, som er svær at måle direkte.
Eksempel med en skygge
En pind på:
**1 meter**
kaster en skygge på:
**2 meter**
På samme tidspunkt kaster et træ en skygge på:
**10 meter**
Hvis solens vinkel er den samme, opstår ligedannede trekanter.
Forholdet er:
**10 ÷ 2 = 5**
Træet er derfor:
**1 × 5 = 5 meter**
højt.
Typisk fejl: Man sammenligner de forkerte sider
Hvis:
**3 cm svarer til 6 cm**
skal den næste tilsvarende side sammenlignes på samme måde.
Man kan ikke vilkårligt bytte rundt på siderne.
Find først ud af:
**hvilken side svarer til hvilken?**
Typisk fejl: Kun én side har samme forhold
Det er ikke nok, at ét par sider passer.
For ligedannede trekanter skal forholdet mellem de relevante tilsvarende sider være det samme, eller de relevante vinkelbetingelser skal være opfyldt.
Typisk fejl: Man lægger skalafaktoren til
Hvis skalafaktoren er:
**3**
og siden er:
**5 cm**
skal du ikke regne:
**5 + 3 = 8**
Du skal regne:
**5 × 3 = 15 cm**
15 opgaver om ligedannede trekanter
Opgave 1
Er trekanterne med siderne:
**3, 4, 5**
og:
**6, 8, 10**
ligedannede?
Opgave 2
Hvad er skalafaktoren fra 3 til 6?
Opgave 3
En side på 4 cm bliver forstørret med faktor 3.
Hvor lang bliver den?
Opgave 4
En side på 7 cm bliver forstørret med faktor 2.
Hvor lang bliver den?
Opgave 5
En trekant har siderne 2, 3 og 4.
En ligedannet trekant har skalafaktor 2.
Hvad bliver siderne?
Opgave 6
En trekant har siderne 5, 8 og 10.
Den forstørres med faktor 3.
Hvad bliver siderne?
Opgave 7
3 cm svarer til 9 cm.
Hvad er skalafaktoren?
Opgave 8
4 cm svarer til 12 cm.
Hvis en anden side er 7 cm, hvor lang bliver den tilsvarende side?
Opgave 9
5 cm svarer til 10 cm.
Hvis en anden side er 8 cm, hvad bliver den?
Opgave 10
Er trekanterne 2-3-4 og 4-6-8 ligedannede?
Opgave 11
Er trekanterne 3-4-5 og 6-8-11 ligedannede?
Opgave 12
To trekanter har begge vinklerne 40°, 60° og 80°.
Har de samme form?
Opgave 13
En 1 meter høj pind kaster en skygge på 2 meter. Et træ kaster en skygge på 8 meter.
Hvor højt er træet?
Opgave 14
En side på 15 cm formindskes med faktor 1/3.
Hvor lang bliver den?
Opgave 15
Hvad kaldes det tal, der fortæller, hvor meget en figur forstørres eller formindskes?
Svar på opgaverne
1. **Ja** 2. **2** 3. **12 cm** 4. **14 cm** 5. **4, 6 og 8** 6. **15, 24 og 30** 7. **3** 8. **21 cm** 9. **16 cm** 10. **Ja** 11. **Nej** 12. **Ja** 13. **4 meter** 14. **5 cm** 15. **Skalafaktor**
Sådan lærer børn ligedannethed lettere
Tegn en simpel trekant på ternet papir.
Lav derefter en ny trekant, hvor alle sidelængder bliver:
**dobbelt så store**
Barnet kan nu sammenligne de to figurer.
De har ikke samme størrelse.
Men formen er den samme.
Prøv derefter at gøre den oprindelige trekant:
**3 gange så stor**
Det gør idéen om skalafaktor og ligedannethed meget mere konkret.
Ligedannede trekanter gennem spil
Forestil dig, at barnet finder et gammelt kort over et tempel.
På kortet er en trekantet passage vist med siderne:
**3, 4 og 5**
Den virkelige passage er dobbelt så stor.
Barnet skal finde de virkelige mål.
Skalafaktor:
**2**
Derfor:
**3 × 2 = 6**
**4 × 2 = 8**
**5 × 2 = 10**
Barnet får målene:
**6, 8 og 10**
og kan bygge den rigtige nøgle til passagen.
Matematikken bliver dermed et værktøj til at komme videre.
Det er den type matematik, vi arbejder med i Skillio.
Læs mere om geometri
Læs også:
- [Geometri for børn](/blog/geometri-for-boern) - [Trekanter – typer, vinkler og egenskaber](/blog/typer-af-trekanter) - [Pythagoras](/blog/pythagoras) - [Målestoksforhold](/blog/maalestoksforhold) - [Brøker](/blog/hvad-er-en-broek)
Træn matematik gennem Skillio
Skillio er et online spilunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af selve spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, talforståelse, gange, division, brøker, procent og problemløsning.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der kan være brug for mere træning.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**