**Et koordinatsystem bruges til at vise præcis, hvor et punkt ligger.** Et almindeligt koordinatsystem består af en vandret **x-akse** og en lodret **y-akse**, som mødes i punktet **(0,0)**.
Et punkt kan eksempelvis have koordinaterne:
**(3, 2)**
Det betyder:
**3 hen ad x-aksen og 2 op ad y-aksen**
Her lærer du at aflæse, placere og arbejde med koordinater trin for trin.
Hvad er et koordinatsystem?
Et koordinatsystem kan sammenlignes med et kort.
På et almindeligt kort kan vi bruge adresser eller felter til at fortælle, hvor noget befinder sig.
I et koordinatsystem bruger vi:
**tal**
Et punkt får typisk to tal.
Eksempel:
**(4, 3)**
De to tal fortæller punktets præcise placering.
X-aksen
Den vandrette linje kaldes:
**x-aksen**
Den går fra venstre mod højre.
Til højre for 0 finder vi positive tal:
**1, 2, 3, 4, 5 ...**
Til venstre for 0 finder vi negative tal:
**-1, -2, -3, -4, -5 ...**
Y-aksen
Den lodrette linje kaldes:
**y-aksen**
Den går op og ned.
Over 0 finder vi positive tal.
Under 0 finder vi negative tal.
De to akser gør det muligt at beskrive en placering med to koordinater.
Origo – punktet (0,0)
X-aksen og y-aksen mødes i:
**(0,0)**
Dette punkt kaldes:
**origo**
Det er koordinatsystemets centrum.
Her er:
**x = 0**
og:
**y = 0**
Origo er derfor et vigtigt udgangspunkt, når vi skal finde andre punkter.
Hvordan læser man koordinater?
Et punkt skrives normalt sådan:
**(x, y)**
Det betyder:
**x først**
**y bagefter**
Det er en af de vigtigste regler at huske.
Tag punktet:
**(3, 5)**
Først finder vi:
**x = 3**
Derefter:
**y = 5**
Vi bevæger os altså:
**3 mod højre**
og:
**5 op**
Husk: x før y
Det er let at bytte rundt på koordinaterne.
Punkterne:
**(2, 5)**
og:
**(5, 2)**
er ikke det samme punkt.
For:
**(2, 5)**
går vi først 2 på x-aksen og derefter 5 på y-aksen.
For:
**(5, 2)**
går vi først 5 på x-aksen og derefter 2 på y-aksen.
En simpel huskeregel er:
**hen først – op eller ned bagefter**
Eksempel: Punkt A = (4,3)
Vi skal placere:
**A = (4,3)**
Først:
**4 mod højre på x-aksen**
Derefter:
**3 op på y-aksen**
Her ligger punkt A.
Eksempel: Punkt B = (2,6)
Punktet er:
**B = (2,6)**
Det første tal er x:
**x = 2**
Det andet tal er y:
**y = 6**
Så går vi:
**2 mod højre**
og:
**6 op**
Negative koordinater
Et koordinatsystem kan også indeholde negative tal.
Eksempel:
**(-3, 2)**
Det betyder:
**3 mod venstre**
og:
**2 op**
Fordi x-koordinaten er negativ, bevæger vi os mod venstre.
Eksempel: (-4,-2)
Her er både x og y negative.
**x = -4**
betyder:
**4 mod venstre**
**y = -2**
betyder:
**2 ned**
Punktet ligger derfor nederst til venstre for origo.
Fire områder i koordinatsystemet
X-aksen og y-aksen deler koordinatsystemet i fire områder.
De kaldes:
**kvadranter**
1. kvadrant
Her er:
**x positiv**
**y positiv**
Eksempel:
**(3,4)**
2. kvadrant
Her er:
**x negativ**
**y positiv**
Eksempel:
**(-3,4)**
3. kvadrant
Her er:
**x negativ**
**y negativ**
Eksempel:
**(-3,-4)**
4. kvadrant
Her er:
**x positiv**
**y negativ**
Eksempel:
**(3,-4)**
Oversigt over kvadranter
| Kvadrant | x | y | Eksempel | |---|---|---|---| | 1. | positiv | positiv | (3,2) | | 2. | negativ | positiv | (-3,2) | | 3. | negativ | negativ | (-3,-2) | | 4. | positiv | negativ | (3,-2) |
Det gør det lettere hurtigt at se, hvilken del af koordinatsystemet et punkt ligger i.
Punkter på x-aksen
Hvis et punkt ligger direkte på x-aksen, er:
**y = 0**
Eksempel:
**(5,0)**
Punktet ligger 5 til højre for origo og slet ikke op eller ned.
Et andet eksempel:
**(-3,0)**
Punktet ligger 3 til venstre for origo.
Punkter på y-aksen
Hvis et punkt ligger direkte på y-aksen, er:
**x = 0**
Eksempel:
**(0,4)**
Punktet ligger 4 oppe på y-aksen.
Og:
**(0,-6)**
ligger 6 ned på y-aksen.
Hvordan aflæser man et punkt?
Hvis et punkt allerede er tegnet, kan du gøre sådan:
Trin 1
Se, hvor punktet ligger i forhold til x-aksen.
Find:
**x-koordinaten**
Trin 2
Se derefter, hvor højt eller lavt punktet ligger.
Find:
**y-koordinaten**
Trin 3
Skriv:
**(x,y)**
Altid x først.
Eksempel
Et punkt ligger:
**5 felter til højre**
og:
**3 felter op**
Koordinaterne er:
**(5,3)**
Ikke:
**(3,5)**
Koordinatsystem som skattekort
En nem måde at forstå koordinater på er at forestille sig et skattekort.
Skatten ligger i:
**(6,4)**
Du starter ved:
**(0,0)**
Først bevæger du dig:
**6 felter mod højre**
Derefter:
**4 felter op**
Her finder du skatten.
Nu er koordinater ikke bare tal.
De fungerer som:
**en adresse**
Flyt et punkt
Koordinater kan også bruges til at beskrive bevægelse.
Punkt A ligger i:
**(2,3)**
Vi flytter punktet:
**4 felter mod højre**
X-koordinaten bliver:
**2 + 4 = 6**
Y-koordinaten ændrer sig ikke.
Det nye punkt er:
**(6,3)**
Flyt et punkt op
Punkt B ligger i:
**(5,2)**
Det flyttes:
**3 felter op**
X ændrer sig ikke:
**x = 5**
Y bliver:
**2 + 3 = 5**
Det nye punkt er:
**(5,5)**
Flyt et punkt mod venstre
Punktet er:
**(6,4)**
Det flyttes:
**2 mod venstre**
Så:
**6 - 2 = 4**
Det nye punkt bliver:
**(4,4)**
Flyt et punkt ned
Punktet er:
**(3,7)**
Det flyttes:
**5 ned**
Så:
**7 - 5 = 2**
Det nye punkt bliver:
**(3,2)**
Koordinater og figurer
Vi kan tegne figurer ved hjælp af koordinater.
Forestil dig fire punkter:
**A = (1,1)**
**B = (5,1)**
**C = (5,4)**
**D = (1,4)**
Hvis vi forbinder punkterne, får vi et:
**rektangel**
Bredden er:
**5 - 1 = 4**
Højden er:
**4 - 1 = 3**
Arealet bliver:
**4 × 3 = 12**
Koordinater kan altså kobles direkte sammen med geometri.
Læs mere om [areal af et rektangel](/blog/areal-af-rektangel).
Find afstand vandret
To punkter ligger i:
**A = (2,4)**
**B = (8,4)**
Y-koordinaten er den samme.
Derfor ligger punkterne på en vandret linje.
Afstanden er:
**8 - 2 = 6**
Altså:
**6 enheder**
Find afstand lodret
Punkterne er:
**A = (3,2)**
**B = (3,9)**
X-koordinaten er den samme.
Afstanden er derfor:
**9 - 2 = 7**
Altså:
**7 enheder**
Koordinater og parallelforskydning
Hvis en hel figur flyttes det samme antal felter i samme retning, kaldes det en:
**parallelforskydning**
Forestil dig punktet:
**(2,3)**
Det flyttes:
**4 mod højre**
og:
**2 op**
Det nye punkt bliver:
**(6,5)**
Det samme kan gøres med alle punkterne i en figur.
Læs mere om [parallelforskydning](/blog/parallelforskydning).
Koordinater og symmetri
Koordinatsystemet kan også bruges til at undersøge symmetri.
Tag punktet:
**(4,2)**
Hvis det spejles i y-aksen, bliver det:
**(-4,2)**
Y-værdien er den samme.
X-værdien skifter fortegn.
Det er et eksempel på, hvordan koordinater gør geometriske transformationer præcise.
Koordinater i computerspil
Koordinater bruges ikke kun i matematikundervisning.
De bruges også i:
- computerspil - kort - GPS - programmering - grafik - robotter - konstruktion
I et spil kan en figur eksempelvis have en position, der matematisk kan beskrives med koordinater.
Hvis figuren bevæger sig mod højre, ændres x-værdien.
Hvis figuren bevæger sig opad, ændres y-værdien.
Koordinater som hemmelig kode
Man kan også bruge koordinater til små matematikspil.
Forestil dig et kort med fem skatte:
**A = (2,3)**
**B = (5,1)**
**C = (4,6)**
**D = (7,2)**
**E = (1,5)**
Missionen siger:
**"Find skatten ved (4,6)."**
Barnet skal nu aflæse koordinatsystemet og vælge:
**C**
Det gør koordinaterne til en del af en konkret opgave.
Typisk fejl: y før x
En af de mest almindelige fejl er at læse:
**(3,7)**
som:
**7 hen og 3 op**
Men rækkefølgen er:
**x først**
**y bagefter**
Så:
**(3,7)**
betyder:
**3 hen og 7 op**
Typisk fejl: minus glemmes
Punkterne:
**(4,3)**
og:
**(-4,3)**
er ikke det samme.
Det første ligger til:
**højre**
Det andet ligger til:
**venstre**
Minusset fortæller altså noget vigtigt om placeringen.
Typisk fejl: akserne byttes rundt
Husk:
**x-aksen = vandret**
**y-aksen = lodret**
En huskeregel kan være:
**x går hen**
**y går op og ned**
25 opgaver med koordinater
Opgave 1
Hvad hedder den vandrette akse?
Opgave 2
Hvad hedder den lodrette akse?
Opgave 3
Hvad kaldes punktet (0,0)?
Opgave 4
I punktet (3,5), hvad er x?
Opgave 5
I punktet (3,5), hvad er y?
Opgave 6
Hvordan placerer du punktet (4,2)?
Opgave 7
Hvordan placerer du punktet (-3,2)?
Opgave 8
Hvordan placerer du punktet (2,-4)?
Opgave 9
Hvordan placerer du punktet (-5,-3)?
Opgave 10
Hvilken kvadrant ligger (4,3) i?
Opgave 11
Hvilken kvadrant ligger (-4,3) i?
Opgave 12
Hvilken kvadrant ligger (-4,-3) i?
Opgave 13
Hvilken kvadrant ligger (4,-3) i?
Opgave 14
Et punkt ligger i (2,3) og flyttes 4 mod højre. Hvor ligger det nu?
Opgave 15
Et punkt ligger i (5,2) og flyttes 3 op. Hvor ligger det nu?
Opgave 16
Et punkt ligger i (7,4) og flyttes 2 mod venstre. Hvor ligger det nu?
Opgave 17
Et punkt ligger i (3,8) og flyttes 5 ned. Hvor ligger det nu?
Opgave 18
Hvad er afstanden mellem (2,4) og (7,4)?
Opgave 19
Hvad er afstanden mellem (3,2) og (3,8)?
Opgave 20
Hvad er y-koordinaten for et punkt på x-aksen?
Opgave 21
Hvad er x-koordinaten for et punkt på y-aksen?
Opgave 22
Punktet (3,2) spejles i y-aksen. Hvad bliver det nye punkt?
Opgave 23
Punktet (-4,5) flyttes 2 mod højre. Hvad bliver det nye punkt?
Opgave 24
Punktet (1,1) flyttes 3 mod højre og 4 op. Hvor ligger det nu?
Opgave 25
Hvilket koordinat skrives først – x eller y?
Svar
1. **x-aksen** 2. **y-aksen** 3. **origo** 4. **3** 5. **5** 6. **4 mod højre og 2 op** 7. **3 mod venstre og 2 op** 8. **2 mod højre og 4 ned** 9. **5 mod venstre og 3 ned** 10. **1. kvadrant** 11. **2. kvadrant** 12. **3. kvadrant** 13. **4. kvadrant** 14. **(6,3)** 15. **(5,5)** 16. **(5,4)** 17. **(3,3)** 18. **5 enheder** 19. **6 enheder** 20. **0** 21. **0** 22. **(-3,2)** 23. **(-2,5)** 24. **(4,5)** 25. **x**
Lær koordinater gennem spil
Koordinatsystemet passer naturligt ind i spil.
Forestil dig et skattekort, hvor barnet får beskeden:
**"Den gamle krystal ligger ved (6,4)."**
Barnet skal aflæse kortet og finde det rigtige felt.
Næste mission kan sige:
**"Start ved (2,3). Gå 4 felter mod højre og 2 op."**
Barnet skal nu beregne:
**(2 + 4, 3 + 2)**
og ender ved:
**(6,5)**
I stedet for kun at sætte krydser i et koordinatsystem bruger barnet koordinater til faktisk at navigere.
Koordinater i Skillio
I Skillios spilunivers kan matematik bruges direkte i spillets udfordringer.
I **Skattekortet** kan koordinater eksempelvis bruges til at finde placeringer og komme videre på kortet.
Det er netop idéen bag Skillio:
Matematik skal ikke kun være spørgsmål, der afbryder spillet.
Matematikken skal kunne være:
**selve værktøjet, der får barnet videre.**
Skillio er udviklet til børn fra **7-13 år**, og som forælder kan du følge barnets udvikling undervejs.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**