**Pythagoras' formel bruges til at finde en manglende sidelængde i en retvinklet trekant.**
Formlen er:
**a² + b² = c²**
Her er:
**a og b = kateterne**
**c = hypotenusen**
Hypotenusen er altid siden over for den rette vinkel og er den længste side i en retvinklet trekant.
Eksempel:
Hvis:
**a = 3**
og:
**b = 4**
så:
**3² + 4² = c²**
**9 + 16 = c²**
**25 = c²**
Derfor:
**c = 5**
Trekantens hypotenuse er:
**5**
Hvad er Pythagoras?
Pythagoras' læresætning beskriver sammenhængen mellem sidelængderne i en:
**retvinklet trekant**
Formlen er:
**a² + b² = c²**
Den kan bruges, når du kender to sider og vil finde den tredje.
Hvad er en retvinklet trekant?
En retvinklet trekant har én vinkel på:
**90°**
Den markeres ofte med en lille firkant i hjørnet.
Pythagoras' læresætning gælder for:
**retvinklede trekanter**
Den kan ikke bare bruges på enhver trekant.
Hvad er hypotenusen?
Hypotenusen er:
**den længste side i en retvinklet trekant**
Den ligger altid:
**over for den rette vinkel**
I Pythagoras' formel kaldes hypotenusen normalt:
**c**
Derfor står:
**c²**
alene på den ene side af ligningen.
Hvad er kateter?
De to andre sider i den retvinklede trekant kaldes:
**kateter**
De mødes ved den rette vinkel.
De kaldes typisk:
**a og b**
Derfor:
**a² + b² = c²**
Pythagoras' formel
Formlen er:
**a² + b² = c²**
Det betyder:
**a × a + b × b = c × c**
Hvis:
**a = 3**
og:
**b = 4**
bliver det:
**3 × 3 + 4 × 4 = c²**
=
**9 + 16 = c²**
=
**25 = c²**
Tag kvadratroden:
**c = √25**
=
**5**
Den klassiske 3-4-5-trekant
En af de mest kendte retvinklede trekanter har siderne:
**3, 4 og 5**
Kontroller:
**3² + 4² = 5²**
**9 + 16 = 25**
**25 = 25**
Derfor passer Pythagoras.
Eksempel: Find hypotenusen
En retvinklet trekant har:
**a = 6 cm**
**b = 8 cm**
Find c.
Brug:
**a² + b² = c²**
Indsæt:
**6² + 8² = c²**
**36 + 64 = c²**
**100 = c²**
Tag kvadratroden:
**c = √100**
=
**10 cm**
Eksempel: 5 og 12
En retvinklet trekant har kateterne:
**5 cm og 12 cm**
Beregn:
**5² + 12² = c²**
**25 + 144 = c²**
**169 = c²**
Tag kvadratroden:
**c = 13**
Hypotenusen er:
**13 cm**
Eksempel: 8 og 15
Beregn:
**8² + 15² = c²**
**64 + 225 = c²**
**289 = c²**
Så:
**c = √289**
=
**17**
Hypotenusen er:
**17**
Hvordan finder man en katete?
Pythagoras kan også bruges, hvis hypotenusen er kendt, men en katete mangler.
Vi starter stadig med:
**a² + b² = c²**
Forestil dig:
**b = 4**
**c = 5**
og a mangler.
Så:
**a² + 4² = 5²**
**a² + 16 = 25**
Træk 16 fra:
**a² = 9**
Tag kvadratroden:
**a = 3**
Formel når en katete mangler
Hvis a mangler:
**a² = c² - b²**
Så:
**a = √(c² - b²)**
Hvis b mangler:
**b = √(c² - a²)**
Eksempel: Find en manglende katete
Hypotenusen er:
**13 cm**
Den ene katete er:
**5 cm**
Find den anden.
Brug:
**b² = 13² - 5²**
**b² = 169 - 25**
**b² = 144**
Så:
**b = √144**
=
**12 cm**
Hvorfor bruges kvadrater?
Pythagoras kan forstås geometrisk.
Forestil dig, at du tegner et kvadrat på hver af trekantens tre sider.
Arealet af kvadratet på den ene katete er:
**a²**
Arealet af kvadratet på den anden katete er:
**b²**
Arealet af kvadratet på hypotenusen er:
**c²**
Pythagoras fortæller:
**Arealet af de to små kvadrater tilsammen er lig arealet af det store kvadrat.**
Altså:
**a² + b² = c²**
Pythagoras og kvadrattal
Hvis du kender kvadrattal, bliver mange Pythagoras-opgaver lettere.
Eksempel:
**6² = 36**
**8² = 64**
**10² = 100**
Derfor kan du hurtigt se:
**36 + 64 = 100**
og dermed:
**6² + 8² = 10²**
Læs vores guide til [kvadrattal](/blog/kvadrattal).
Pythagoras og kvadratrod
Når du har fundet:
**c²**
skal du ofte finde:
**c**
Hvis:
**c² = 81**
så:
**c = √81**
=
**9**
Derfor er [kvadratrod](/blog/kvadratrod) vigtig, når man arbejder med Pythagoras.
Pythagoras og ligninger
Pythagoras er også et eksempel på, hvordan ligninger bruges i geometri.
Se:
**3² + 4² = c²**
Vi leder efter den ukendte værdi:
**c**
På samme måde som i andre [ligninger](/blog/ligninger) arbejder vi os frem til den ukendte.
Sådan bruger du Pythagoras trin for trin
Trin 1: Find den rette vinkel
Kontroller, at trekanten er retvinklet.
Trin 2: Find hypotenusen
Hypotenusen ligger over for den rette vinkel.
Kald den:
**c**
Trin 3: Skriv formlen
**a² + b² = c²**
Trin 4: Indsæt de kendte sidelængder
Eksempel:
**9² + 12² = c²**
Trin 5: Beregn kvadraterne
**81 + 144 = c²**
Trin 6: Læg sammen
**225 = c²**
Trin 7: Tag kvadratroden
**c = √225**
=
**15**
Kan Pythagoras bruges til at undersøge en trekant?
Ja.
Hvis sidelængderne opfylder:
**a² + b² = c²**
er trekanten retvinklet, når c er den længste side.
Eksempel:
Sider:
**5, 12 og 13**
Kontroller:
**5² + 12²**
=
**25 + 144**
=
**169**
Og:
**13² = 169**
Derfor er trekanten retvinklet.
Er en trekant med siderne 3, 4 og 6 retvinklet?
Den længste side er:
**6**
Kontroller:
**3² + 4²**
=
**9 + 16**
=
**25**
Men:
**6² = 36**
Da:
**25 ≠ 36**
er trekanten ikke retvinklet.
Kendte Pythagoras-trekanter
Nogle heltallige sidelængder dukker ofte op.
Eksempel:
**3, 4, 5**
fordi:
**9 + 16 = 25**
Et andet eksempel:
**5, 12, 13**
fordi:
**25 + 144 = 169**
Et tredje:
**8, 15, 17**
fordi:
**64 + 225 = 289**
Sådanne kombinationer kaldes ofte:
**pythagoræiske tripler**
Pythagoras i virkeligheden
Pythagoras kan bruges til at finde afstande, der er svære at måle direkte.
Eksempelvis:
- diagonalen på en skærm - diagonalen på et gulv - længden af en stige op ad en væg - afstande på kort - byggeri - konstruktion - design
Eksempel med en stige
En stige står op ad en væg.
Foden står:
**3 meter fra væggen**
Stigen når:
**4 meter op**
Hvor lang er stigen?
Stigen er hypotenusen.
Beregn:
**3² + 4² = c²**
**9 + 16 = 25**
**c = 5**
Stigen er:
**5 meter**
Eksempel med en skærm
En rektangulær skærm er:
**30 cm bred**
og:
**40 cm høj**
Hvor lang er diagonalen?
Diagonalen bliver hypotenusen.
Beregn:
**30² + 40² = c²**
**900 + 1600 = 2500**
**c = √2500**
=
**50 cm**
Eksempel med et rektangel
Et rektangel er:
**6 cm × 8 cm**
Find diagonalen.
Beregn:
**6² + 8² = c²**
**36 + 64 = 100**
**c = 10**
Diagonalen er:
**10 cm**
Typisk fejl: Man vælger den forkerte hypotenuse
Hypotenusen er altid:
**siden over for den rette vinkel**
og den er:
**den længste side**
Hvis du vælger en katete som c, bliver beregningen forkert.
Typisk fejl: Man lægger siderne sammen
Hvis siderne er:
**3 og 4**
er hypotenusen ikke:
**3 + 4 = 7**
Du skal bruge:
**3² + 4² = c²**
Typisk fejl: Man glemmer kvadratroden
Hvis du finder:
**c² = 100**
er c ikke:
**100**
Du skal tage kvadratroden:
**c = √100 = 10**
Typisk fejl: Man bruger Pythagoras på alle trekanter
Den klassiske Pythagoras-formel:
**a² + b² = c²**
gælder for:
**retvinklede trekanter**
Kontroller derfor altid vinklen først.
20 opgaver om Pythagoras
Opgave 1
a = 3, b = 4.
Find c.
Opgave 2
a = 6, b = 8.
Find c.
Opgave 3
a = 5, b = 12.
Find c.
Opgave 4
a = 8, b = 15.
Find c.
Opgave 5
a = 9, b = 12.
Find c.
Opgave 6
a = 7, b = 24.
Find c.
Opgave 7
c = 5, a = 3.
Find b.
Opgave 8
c = 10, a = 6.
Find b.
Opgave 9
c = 13, a = 5.
Find b.
Opgave 10
c = 17, a = 8.
Find b.
Opgave 11
Er en trekant med siderne 3, 4 og 5 retvinklet?
Opgave 12
Er en trekant med siderne 5, 12 og 13 retvinklet?
Opgave 13
Er en trekant med siderne 3, 4 og 6 retvinklet?
Opgave 14
Hvad kaldes den længste side i en retvinklet trekant?
Opgave 15
Hvor mange grader er den rette vinkel?
Opgave 16
Et rektangel måler 6 × 8 cm.
Hvor lang er diagonalen?
Opgave 17
En stige står 3 meter fra en væg og når 4 meter op.
Hvor lang er stigen?
Opgave 18
Beregn:
**√169**
Opgave 19
Beregn:
**12²**
Opgave 20
Hvilken formel er Pythagoras' læresætning?
Svar på opgaverne
1. **5** 2. **10** 3. **13** 4. **17** 5. **15** 6. **25** 7. **4** 8. **8** 9. **12** 10. **15** 11. **Ja** 12. **Ja** 13. **Nej** 14. **Hypotenusen** 15. **90°** 16. **10 cm** 17. **5 meter** 18. **13** 19. **144** 20. **a² + b² = c²**
Sådan lærer børn Pythagoras lettere
Start med den klassiske:
**3-4-5-trekant**
Tegn en retvinklet trekant.
Tegn derefter et kvadrat på hver side.
De to kateter giver kvadrater med arealerne:
**3² = 9**
og:
**4² = 16**
Læg dem sammen:
**9 + 16 = 25**
Kvadratet på hypotenusen har:
**5² = 25**
Barnet kan dermed se:
**9 + 16 = 25**
Det gør formlen langt mere konkret end bare at huske bogstaverne a² + b² = c².
Pythagoras gennem spil
Forestil dig, at barnet står på den ene side af en borggård.
For at skyde en rebline diagonalt op til et tårn skal barnet finde afstanden.
Den vandrette afstand er:
**6 meter**
Højden er:
**8 meter**
Reblinen bliver hypotenusen.
Barnet beregner:
**6² + 8² = c²**
**36 + 64 = 100**
**c = √100 = 10**
Der skal bruges:
**10 meter reb**
Barnet vælger den rigtige længde og kan fortsætte missionen.
Matematikken bliver dermed et værktøj i spillet.
Det er den type matematik, vi arbejder med i Skillio.
Læs mere om geometri
Læs også:
- [Geometri for børn](/blog/geometri-for-boern) - [Trekanter – typer, vinkler og egenskaber](/blog/typer-af-trekanter) - [Areal af en trekant](/blog/areal-af-en-trekant) - [Kvadrattal](/blog/kvadrattal) - [Kvadratrod](/blog/kvadratrod)
Træn matematik gennem Skillio
Skillio er et online spilunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af selve spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, talforståelse, gange, division, brøker, procent og problemløsning.
Som forælder kan du følge barnets udvikling og se, hvilke færdigheder der sidder godt, og hvor der kan være brug for mere træning.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**