**En cirkel med centrum i (a,b) og radius r kan beskrives med ligningen:**
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Hvis cirklens centrum ligger i origo **(0,0)**, bliver ligningen:
**x² + y² = r²**
Eksempel:
En cirkel med centrum i:
**(0,0)**
og radius:
**5**
har ligningen:
**x² + y² = 25**
Her lærer du, hvad cirklens ligning betyder, hvordan du aflæser centrum og radius, og hvordan du opstiller ligningen selv.
Hvad er en cirkels ligning?
En cirkels ligning beskriver alle de punkter:
**(x,y)**
som ligger på cirklens kant.
En cirkel består af alle punkter, der har den samme afstand til:
**centrum**
Denne afstand er:
**radius**
Det er netop denne egenskab, cirklens ligning beskriver matematisk.
Cirklens ligning
Standardformen er:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
hvor:
**(a,b) = cirklens centrum**
og:
**r = cirklens radius**
Det betyder, at hvis du kender centrum og radius, kan du direkte skrive cirklens ligning.
Cirkel med centrum i origo
Origo er punktet:
**(0,0)**
Hvis centrum er i origo, har vi:
**a = 0**
og:
**b = 0**
Standardformen:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
bliver derfor:
**x² + y² = r²**
Eksempel: radius 5
Centrum:
**(0,0)**
Radius:
**5**
Så:
**r² = 5² = 25**
Ligningen er:
**x² + y² = 25**
Eksempel: radius 3
Centrum:
**(0,0)**
Radius:
**3**
Så:
**r² = 9**
Ligningen bliver:
**x² + y² = 9**
Find radius ud fra ligningen
Hvis du har:
**x² + y² = 49**
kan du se:
**r² = 49**
Derfor:
**r = √49**
**r = 7**
Cirklens radius er:
**7**
Eksempel med centrum væk fra origo
En cirkel har:
**centrum = (3,2)**
**radius = 4**
Brug:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Indsæt:
**a = 3**
**b = 2**
**r = 4**
Så:
**(x - 3)² + (y - 2)² = 16**
Det er cirklens ligning.
Eksempel med negativ koordinat
Centrum er:
**(-2,3)**
Radius:
**5**
Vi bruger:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Da:
**a = -2**
får vi:
**x - (-2) = x + 2**
Derfor bliver ligningen:
**(x + 2)² + (y - 3)² = 25**
Pas på fortegnene
Det er en meget almindelig fejl.
Hvis ligningen er:
**(x - 4)² + (y + 2)² = 9**
er centrum ikke:
**(4,2)**
Centrum er:
**(4,-2)**
Hvorfor?
Fordi:
**y + 2**
kan skrives:
**y - (-2)**
Derfor:
**b = -2**
Sådan aflæser du centrum og radius
Tag ligningen:
**(x - 5)² + (y + 3)² = 16**
Sammenlign med:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Så:
**a = 5**
**b = -3**
og:
**r² = 16**
Derfor:
**r = 4**
Cirklens centrum er:
**(5,-3)**
og radius er:
**4**
Hurtig huskeregel om fortegn
Hvis du ser:
**(x - 3)²**
er x-koordinaten til centrum:
**3**
Hvis du ser:
**(x + 3)²**
er x-koordinaten:
**-3**
Tegnet inde i parentesen bliver altså modsat, når du aflæser centrum.
Hvor kommer cirklens ligning fra?
Cirklens ligning hænger sammen med:
**Pythagoras**
Forestil dig et punkt:
**P = (x,y)**
på en cirkel med centrum:
**C = (a,b)**
Den vandrette afstand mellem punkterne er:
**x - a**
Den lodrette afstand er:
**y - b**
Afstanden mellem centrum og punktet er radius:
**r**
Vi får derfor en retvinklet trekant.
Pythagoras siger:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Det er præcis cirklens ligning.
Læs mere om [Pythagoras](/blog/pythagoras).
Cirklens ligning og afstandsformlen
Afstanden mellem to punkter:
**(x₁,y₁)**
og:
**(x₂,y₂)**
kan beregnes med:
**d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)**
For en cirkel skal afstanden fra centrum:
**(a,b)**
til et punkt:
**(x,y)**
være:
**r**
Derfor:
**√((x - a)² + (y - b)²) = r**
Kvadrerer vi begge sider, får vi:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Ligger punktet på cirklen?
Vi kan teste et punkt ved at sætte koordinaterne ind i ligningen.
Forestil dig:
**x² + y² = 25**
Er punktet:
**(3,4)**
på cirklen?
Indsæt:
**3² + 4²**
=
**9 + 16**
=
**25**
Ja.
Punktet:
**(3,4)**
ligger på cirklen.
Eksempel: punkt der ikke ligger på cirklen
Vi bruger igen:
**x² + y² = 25**
Test:
**(2,2)**
Så:
**2² + 2² = 4 + 4 = 8**
Men højresiden skal være:
**25**
Derfor ligger:
**(2,2)**
ikke på cirklen.
Punkt inden for cirklen
For cirklen:
**x² + y² = 25**
har vi:
**r² = 25**
Hvis et punkt giver:
**x² + y² < 25**
ligger punktet:
**inden for cirklen**
Eksempel:
**(2,2)**
giver:
**8 < 25**
Derfor ligger punktet indenfor.
Punkt uden for cirklen
Hvis:
**x² + y² > 25**
ligger punktet udenfor.
Eksempel:
**(5,5)**
giver:
**25 + 25 = 50**
Og:
**50 > 25**
Derfor ligger punktet uden for cirklen.
Generelt: indenfor, på eller udenfor
For:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
gælder:
**< r² → indenfor**
**= r² → på cirklen**
**> r² → udenfor**
Det giver en hurtig metode til at undersøge et punkts placering.
Find ligningen ud fra centrum og radius
Eksempel 1
Centrum:
**(2,4)**
Radius:
**3**
Så:
**(x - 2)² + (y - 4)² = 9**
Eksempel 2
Centrum:
**(-3,1)**
Radius:
**2**
Så:
**(x + 3)² + (y - 1)² = 4**
Eksempel 3
Centrum:
**(4,-5)**
Radius:
**6**
Så:
**(x - 4)² + (y + 5)² = 36**
Find cirklens yderste punkter
Hvis centrum er:
**(a,b)**
og radius er:
**r**
ligger cirklens yderste punkter vandret ved:
**(a - r,b)**
og:
**(a + r,b)**
Lodret ligger de ved:
**(a,b - r)**
og:
**(a,b + r)**
Eksempel
Centrum:
**(3,2)**
Radius:
**4**
Venstre punkt:
**(-1,2)**
Højre punkt:
**(7,2)**
Nederste punkt:
**(3,-2)**
Øverste punkt:
**(3,6)**
Det gør det lettere at tegne cirklen i et koordinatsystem.
Sådan tegner du en cirkel ud fra ligningen
Forestil dig:
**(x - 2)² + (y + 1)² = 9**
Trin 1: Find centrum
Centrum er:
**(2,-1)**
Trin 2: Find radius
**r² = 9**
Så:
**r = 3**
Trin 3: Marker centrum
Sæt punktet:
**(2,-1)**
i koordinatsystemet.
Trin 4: Marker fire hjælpepukter
3 enheder til højre:
**(5,-1)**
3 til venstre:
**(-1,-1)**
3 op:
**(2,2)**
3 ned:
**(2,-4)**
Trin 5
Tegn cirklen gennem punkterne.
Cirklens ligning og radius
Radius spiller en central rolle.
Hvis:
**(x - 2)² + (y - 4)² = 64**
så:
**r² = 64**
Derfor:
**r = 8**
Husk altså, at tallet på højre side er:
**radius i anden**
ikke nødvendigvis selve radius.
Læs mere om [radius](/blog/radius).
Cirklens ligning og diameter
Når radius er fundet, kan diameteren beregnes:
**d = 2r**
Hvis:
**r = 8**
så:
**d = 16**
Læs mere om [diameter](/blog/diameter).
Fra ligning til omkreds
Hvis du kender cirklens ligning, kan du først finde radius og derefter omkredsen.
Eksempel:
**x² + y² = 36**
Så:
**r = 6**
Omkredsen er:
**O = 2πr**
**O = 12π**
cirka:
**37,7**
Fra ligning til areal
Samme cirkel:
**x² + y² = 36**
har:
**r = 6**
Areal:
**A = πr²**
**A = 36π**
cirka:
**113,1**
Bemærk, at tallet 36 allerede er r².
Derfor kan arealet her hurtigt skrives som:
**36π**
Cirklens ligning og koordinatsystemet
Cirklens ligning kombinerer flere matematiske emner:
- koordinater - potenser - ligninger - Pythagoras - radius - geometri
Det er derfor lettere at forstå cirklens ligning, hvis du allerede er fortrolig med [koordinatsystemet](/blog/koordinatsystem).
Typisk fejl: radius er ikke tallet på højre side
Hvis:
**x² + y² = 49**
er radius ikke:
**49**
Den er:
**√49 = 7**
Højresiden er:
**r²**
Typisk fejl: forkert fortegn i centrum
Ligningen:
**(x + 4)² + (y - 2)² = 25**
har centrum:
**(-4,2)**
ikke:
**(4,-2)**
Sammenlign altid med:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Typisk fejl: at glemme kvadratet
Standardformen er:
**(x - a)² + (y - b)² = r²**
Begge parenteser er i anden.
Hurtig oversigt
| Det du vil finde | Regel | |---|---| | Standardform | (x - a)² + (y - b)² = r² | | Centrum | (a,b) | | Radius | r | | Centrum i origo | x² + y² = r² | | Diameter | d = 2r | | Omkreds | O = 2πr | | Areal | A = πr² |
20 opgaver om cirklens ligning
Opgave 1
Hvad er centrum for:
**x² + y² = 25**
Opgave 2
Hvad er radius?
Opgave 3
Skriv ligningen for en cirkel med centrum (0,0) og radius 4.
Opgave 4
Skriv ligningen for centrum (0,0) og radius 10.
Opgave 5
Find centrum for:
**(x - 3)² + (y - 2)² = 16**
Opgave 6
Find radius i samme cirkel.
Opgave 7
Find centrum for:
**(x + 4)² + (y - 5)² = 9**
Opgave 8
Find radius.
Opgave 9
Skriv cirklens ligning, når centrum er (2,3) og radius er 5.
Opgave 10
Skriv ligningen, når centrum er (-2,4) og radius er 3.
Opgave 11
Ligger (3,4) på cirklen **x² + y² = 25**?
Opgave 12
Ligger (1,1) på samme cirkel?
Opgave 13
Ligger (1,1) indenfor eller udenfor cirklen?
Opgave 14
Find radius for:
**(x - 2)² + (y + 3)² = 64**
Opgave 15
Find diameteren i opgave 14.
Opgave 16
Find centrum for:
**(x + 7)² + (y + 2)² = 100**
Opgave 17
Find radius.
Opgave 18
Hvad er standardformen for en cirkels ligning?
Opgave 19
Hvorfor optræder Pythagoras i cirklens ligning?
Opgave 20
En cirkel har centrum (3,2) og radius 4. Hvad er dens højre yderpunkt?
Svar
1. **(0,0)** 2. **5** 3. **x² + y² = 16** 4. **x² + y² = 100** 5. **(3,2)** 6. **4** 7. **(-4,5)** 8. **3** 9. **(x - 2)² + (y - 3)² = 25** 10. **(x + 2)² + (y - 4)² = 9** 11. **Ja** 12. **Nej** 13. **Indenfor** 14. **8** 15. **16** 16. **(-7,-2)** 17. **10** 18. **(x - a)² + (y - b)² = r²** 19. **Fordi radius er afstanden mellem centrum og et punkt på cirklen, og den afstand kan beskrives med en retvinklet trekant** 20. **(7,2)**
Forstå cirklens ligning visuelt
Forestil dig et spilkort med en magisk zone.
Zonens centrum ligger i:
**(3,2)**
og dens rækkevidde er:
**5 felter**
Alle punkter præcis på kanten opfylder:
**(x - 3)² + (y - 2)² = 25**
Hvis spillerens position giver en værdi:
**mindre end 25**
er spilleren inde i zonen.
Hvis værdien er:
**større end 25**
er spilleren udenfor.
På den måde bliver cirklens ligning en konkret regel for afstand og position i et koordinatsystem.
Matematik i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver brugt som en del af spillets udfordringer.
Barnet kan arbejde med blandt andet koordinater, geometri og problemløsning i et spilunivers, hvor matematikken bruges til at komme videre.
Som forælder kan du følge barnets udvikling undervejs.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**