**En trekant er en geometrisk figur med tre sider, tre hjørner og tre vinkler. Vinklerne i en trekant giver altid tilsammen 180°.**
Trekanter kan se meget forskellige ud. Nogle har tre lige lange sider, nogle har en ret vinkel, og andre har to lige lange sider.
De vigtigste regler er:
**Vinkelsum = 180°**
**Areal = (grundlinje × højde) / 2**
**Omkreds = side a + side b + side c**
Her lærer du de vigtigste ting om trekanter, forskellige typer trekanter, vinkler, areal, omkreds og Pythagoras.
Hvad er en trekant?
En trekant er en todimensionel geometrisk figur med:
- 3 sider - 3 hjørner - 3 vinkler
En trekant kan have mange forskellige former, men den har altid præcis tre sider.
Hvis hjørnerne kaldes:
**A, B og C**
kaldes siderne ofte:
**a, b og c**
Hvor mange grader er der i en trekant?
Vinkelsummen i en trekant er altid:
**180°**
Det gælder for alle trekanter.
Eksempel:
En trekant har vinklerne:
**50°**
**60°**
**70°**
Så:
**50° + 60° + 70° = 180°**
Find en ukendt vinkel i en trekant
Hvis du kender to vinkler, kan du finde den tredje.
Formlen er:
**ukendt vinkel = 180° − vinkel 1 − vinkel 2**
Eksempel
En trekant har vinklerne:
**40°**
**65°**
og en ukendt vinkel.
Så:
**180° − 40° − 65° = 75°**
Den sidste vinkel er:
**75°**
Typer af trekanter
Trekanter kan inddeles efter:
**sidelængder**
eller:
**vinkler**
Når vi ser på siderne, møder vi især:
**ligesidet trekant**
**ligebenet trekant**
**uligesidet trekant**
Når vi ser på vinklerne, møder vi:
**spidsvinklet trekant**
**retvinklet trekant**
**stumpvinklet trekant**
Ligesidet trekant
En ligesidet trekant har:
**3 lige lange sider**
Derfor har den også:
**3 lige store vinkler**
Da vinkelsummen er 180°:
**180° / 3 = 60°**
Alle vinkler i en ligesidet trekant er derfor:
**60°**
Ligebenet trekant
En ligebenet trekant har mindst:
**2 lige lange sider**
Vinklerne over for de to lige lange sider er også lige store.
Eksempel
En ligebenet trekant har en topvinkel på:
**40°**
De to andre vinkler er lige store.
Først:
**180° − 40° = 140°**
Derefter:
**140° / 2 = 70°**
De to vinkler er derfor:
**70° og 70°**
Uligesidet trekant
En uligesidet trekant har:
**3 forskellige sidelængder**
Den har derfor heller ikke den symmetri, som man ser i en ligesidet eller almindelig ligebenet trekant.
Retvinklet trekant
En retvinklet trekant har én vinkel på:
**90°**
De to andre vinkler skal tilsammen være:
**90°**
fordi hele trekanten skal give:
**180°**
Den længste side i en retvinklet trekant kaldes:
**hypotenusen**
Hypotenusen ligger over for den rette vinkel.
Spidsvinklet trekant
En spidsvinklet trekant har:
**alle tre vinkler mindre end 90°**
Eksempel:
**50°, 60° og 70°**
Alle tre vinkler er spidse.
Stumpvinklet trekant
En stumpvinklet trekant har én vinkel, der er:
**større end 90°**
men mindre end:
**180°**
Eksempel:
**110°, 40° og 30°**
Her er:
**110°**
den stumpe vinkel.
Kan en trekant have to stumpe vinkler?
Nej.
Hvis to vinkler begge var større end 90°, ville de allerede tilsammen være større end:
**180°**
Det er umuligt, fordi hele trekantens vinkelsum er 180°.
Kan en trekant have to rette vinkler?
Nej.
To rette vinkler ville give:
**90° + 90° = 180°**
Så ville der ikke være nogen grader tilbage til den tredje vinkel.
Oversigt over typer af trekanter
| Trekant | Kendetegn | |---|---| | Ligesidet | 3 lige lange sider | | Ligebenet | Mindst 2 lige lange sider | | Uligesidet | 3 forskellige sider | | Retvinklet | Én vinkel er 90° | | Spidsvinklet | Alle vinkler er under 90° | | Stumpvinklet | Én vinkel er over 90° |
En trekant kan godt høre til én kategori efter sider og samtidig én kategori efter vinkler.
Eksempelvis kan en trekant være:
**ligebenet og retvinklet**
på samme tid.
Omkreds af en trekant
Omkredsen er længden hele vejen rundt om trekanten.
Formlen er:
**O = a + b + c**
hvor a, b og c er trekantens tre sidelængder.
Eksempel
Siderne er:
**5 cm**
**7 cm**
**8 cm**
Så:
**O = 5 + 7 + 8**
**O = 20 cm**
Omkreds af en ligesidet trekant
Hvis alle tre sider har længden:
**s**
kan vi bruge:
**O = 3s**
Hvis siden er:
**6 cm**
så:
**O = 3 × 6**
**O = 18 cm**
Areal af en trekant
Formlen for trekantens areal er:
**A = (g × h) / 2**
hvor:
**g = grundlinjen**
**h = den vinkelrette højde**
Eksempel
Grundlinjen er:
**10 cm**
Højden er:
**6 cm**
Så:
**A = (10 × 6) / 2**
**A = 60 / 2**
**A = 30 cm²**
Læs mere i vores guide til [areal af en trekant](/blog/areal-af-en-trekant).
Hvorfor dividerer man med 2?
Forestil dig et rektangel med:
**grundlinje = 10 cm**
**højde = 6 cm**
Arealet er:
**10 × 6 = 60 cm²**
Hvis rektanglet deles diagonalt, får vi to lige store trekanter.
Hver trekant har derfor halvdelen af arealet:
**60 / 2 = 30 cm²**
Derfor bruger vi:
**A = (g × h) / 2**
Højden i en trekant
Højden er ikke nødvendigvis en af trekantens sider.
Højden skal stå:
**vinkelret på grundlinjen**
Det betyder, at vinklen mellem højden og grundlinjen skal være:
**90°**
I nogle trekanter ligger højden inde i trekanten.
I andre kan man være nødt til at forlænge grundlinjen for at tegne højden.
Find højden ud fra arealet
Fra:
**A = (g × h) / 2**
kan vi finde højden:
**h = 2A / g**
Eksempel
Arealet er:
**40 cm²**
Grundlinjen er:
**10 cm**
Så:
**h = (2 × 40) / 10**
**h = 8 cm**
Find grundlinjen ud fra arealet
På samme måde:
**g = 2A / h**
Eksempel
Arealet er:
**30 cm²**
Højden er:
**5 cm**
Så:
**g = (2 × 30) / 5**
**g = 12 cm**
Pythagoras og retvinklede trekanter
I en retvinklet trekant kan vi bruge Pythagoras:
**a² + b² = c²**
Her er:
**c = hypotenusen**
Eksempel
Kateterne er:
**3 cm**
og:
**4 cm**
Så:
**3² + 4² = c²**
**9 + 16 = c²**
**25 = c²**
Derfor:
**c = 5 cm**
Læs mere om [Pythagoras](/blog/pythagoras).
Find et katete med Pythagoras
Hvis:
**c = 13**
og:
**a = 5**
kan vi finde b.
**5² + b² = 13²**
**25 + b² = 169**
**b² = 144**
**b = 12**
Trekantens ulighed
Ikke tre vilkårlige sidelængder kan danne en trekant.
Summen af to sider skal være:
**større end den tredje side**
Eksempel:
**3, 4 og 5**
kan danne en trekant, fordi:
**3 + 4 > 5**
**3 + 5 > 4**
**4 + 5 > 3**
Men:
**2, 3 og 6**
kan ikke danne en trekant.
Fordi:
**2 + 3 = 5**
og:
**5 < 6**
De to korte sider kan altså ikke nå hinanden.
Symmetri i trekanter
En ligesidet trekant har:
**3 symmetriakser**
En ligebenet trekant, der ikke er ligesidet, har:
**1 symmetriakse**
En uligesidet trekant har:
**0 symmetriakser**
Symmetri kan derfor hjælpe med at genkende forskellige typer trekanter.
Trekanter i koordinatsystemet
En trekant kan også beskrives med koordinater.
Eksempel:
**A = (0,0)**
**B = (6,0)**
**C = (0,4)**
Her ligger AB langs x-aksen.
Længden er:
**6**
Højden fra C til AB er:
**4**
Arealet bliver derfor:
**A = (6 × 4) / 2**
**A = 12**
Læs mere om [koordinatsystemet](/blog/koordinatsystem).
Kongruente trekanter
To trekanter er kongruente, hvis de har:
**samme form og samme størrelse**
De kan godt være drejet, flyttet eller spejlet.
Hvis de stadig passer præcist oven på hinanden, er de kongruente.
Læs mere om [kongruente trekanter](/blog/kongruente-trekanter).
Ligedannede trekanter
To trekanter er ligedannede, hvis de har:
**samme form**
men ikke nødvendigvis samme størrelse.
De tilsvarende vinkler er ens, og de tilsvarende sider har det samme størrelsesforhold.
Læs mere om [ligedannede trekanter](/blog/ligedannede-trekanter).
Typisk fejl: vinklerne giver ikke 180°
Hvis du har fundet vinklerne:
**50°, 60° og 80°**
kan du kontrollere:
**50 + 60 + 80 = 190**
Det kan derfor ikke være vinklerne i en trekant.
Kontrollér altid, at resultatet giver:
**180°**
Typisk fejl: forkert højde ved areal
I:
**A = (g × h) / 2**
skal højden stå:
**vinkelret på grundlinjen**
Du kan ikke automatisk bruge en skrå side som højden.
Typisk fejl: glemmer at dividere med 2
Et rektangels areal kan være:
**g × h**
Men trekantens areal er:
**(g × h) / 2**
Det sidste trin er vigtigt.
Typisk fejl: Pythagoras bruges på alle trekanter
Formlen:
**a² + b² = c²**
kan kun bruges direkte på:
**retvinklede trekanter**
Du skal altså kende eller kunne fastslå, at trekanten har en vinkel på 90°.
Hurtig oversigt over trekanten
| Egenskab | Regel | |---|---| | Antal sider | 3 | | Antal hjørner | 3 | | Antal vinkler | 3 | | Vinkelsum | 180° | | Omkreds | O = a + b + c | | Areal | A = (g × h) / 2 | | Retvinklet trekant | Én vinkel = 90° | | Pythagoras | a² + b² = c² |
20 opgaver om trekanter
Opgave 1
Hvor mange sider har en trekant?
Opgave 2
Hvor mange grader er vinkelsummen?
Opgave 3
En trekant har vinklerne 60° og 70°. Find den sidste vinkel.
Opgave 4
En trekant har vinklerne 90° og 35°. Find den sidste.
Opgave 5
Hvad kaldes en trekant med tre lige lange sider?
Opgave 6
Hvor store er vinklerne i en ligesidet trekant?
Opgave 7
Hvad kaldes en trekant med mindst to lige lange sider?
Opgave 8
Hvad kaldes en trekant med en vinkel på 90°?
Opgave 9
Hvad kaldes den længste side i en retvinklet trekant?
Opgave 10
Siderne er 4 cm, 6 cm og 8 cm. Find omkredsen.
Opgave 11
En ligesidet trekant har sidelængden 7 cm. Find omkredsen.
Opgave 12
Grundlinjen er 8 cm og højden 5 cm. Find arealet.
Opgave 13
Grundlinjen er 12 cm og højden 7 cm. Find arealet.
Opgave 14
Arealet er 30 cm² og grundlinjen 10 cm. Find højden.
Opgave 15
Kan siderne 3, 4 og 5 danne en trekant?
Opgave 16
Kan siderne 2, 3 og 6 danne en trekant?
Opgave 17
En retvinklet trekant har kateterne 3 og 4. Find hypotenusen.
Opgave 18
En trekant har vinklerne 40°, 40° og 100°. Er den spids-, ret- eller stumpvinklet?
Opgave 19
Hvor mange symmetriakser har en ligesidet trekant?
Opgave 20
Kan en trekant have to vinkler på 100°?
Svar
1. **3** 2. **180°** 3. **50°** 4. **55°** 5. **Ligesidet trekant** 6. **60°, 60° og 60°** 7. **Ligebenet trekant** 8. **Retvinklet trekant** 9. **Hypotenusen** 10. **18 cm** 11. **21 cm** 12. **20 cm²** 13. **42 cm²** 14. **6 cm** 15. **Ja** 16. **Nej** 17. **5** 18. **Stumpvinklet** 19. **3** 20. **Nej**
Lær om trekanter gennem spil
Forestil dig, at barnet skal bygge taget på et tårn.
Tagets forside er en trekant med:
**grundlinje = 8 felter**
**højde = 6 felter**
For at finde ud af, hvor meget materiale der skal bruges, skal barnet beregne:
**A = (8 × 6) / 2**
**A = 24**
Der skal altså bruges:
**24 kvadratfelter**
Senere kan barnet få manglende vinkler, ukendte sidelængder eller retvinklede konstruktioner, hvor Pythagoras bliver nødvendig.
På den måde bliver geometrien noget, barnet bruger til at løse et konkret problem.
Trekanter og geometri i Skillio
Skillio er et online læringsunivers til børn fra **7–13 år**, hvor matematik bliver en del af spillets udfordringer.
Barnet kan blandt andet arbejde med geometri, areal, omkreds, koordinater og problemløsning, mens du som forælder kan følge udviklingen.
Der er ingen reklamer, loot boxes eller køb inde i spillet.
**Prøv Skillio i 7 dage for 0 kr. Derefter 149 kr./måned for hele husstanden. Opsig med ét klik.**